Integrales primitivas.doc

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].
Así:
La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.
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PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC.
Primerapropiedad
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función
F(x) + C es otra primitiva de f(x).
Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)
Ejercicio: primitivas de una función
Encontrartres primitivas de la función cos x.
Resolución:
ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.
ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,
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Segunda propiedad
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantasprimitivas como valores se le quieran dar
a C.
Tercera propiedad
Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Esdecir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.
Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);
si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).
Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la funciónf(x), y se simboliza
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Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
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donde C representa una constante llamada constante de integración.
Ejercicio: cálculo de primitivas
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Resolución:
ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,
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Resolución:
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Porconsiguiente,
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Resolución:
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INTEGRALES INMEDIATAS
De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.
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Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas
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Resolución:
ð Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.
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Resolución:
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Resolución:
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ð Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,
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Por tanto,
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Resolución:
ð Es una integral inmediataperteneciente al cuarto caso en el que a = 3.
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ð Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.
Resolución:
ð Hay que probar la certeza de la igualdad
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Basta demostrar que la derivada de la función
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cociente,
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Así,
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Se concluye que
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Por consiguiente,
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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )
Integración por descomposición
Este método se basaen la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:
ð Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,
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Demostración:
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Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de...