Integrales Propuestas

Mett ®
Ana Mar´ Albornoz R.
ıa

M´todos de integraci´n
e
o

Integrales inmediates y sustituciones sencillas
1.

tg 3 x sec2 x dx

Sea u = tg x ⇒ du = sec2 x dx

tg 3 x sec2 x dx =
2.

x2
4

(x3

+

1)7

x2
4

3.

4.

(x3

+

1)7

u3 du =

u4
tg 4 x
+C =
+C
4
4

Sea u = x3 + 1 ⇒ du = 3x2 dx

dx
dx =

1

1
3

u7/4

=

−4
−4
+C =
+C3/4
3 + 1)3/4
3u
3 (x

√
√
sen x
1
√
dx
Sea u = x ⇒ du = √ dx
x
2x
√
√
sen x
√
dx = 2 sen u du = −2 cos u + C = −2 cos x + C
x
4x2

2x − 3
1
dx =
− 12x + 1
4

8x − 12
dx
− 12x + 1

4x2

Sea u = 4x2 − 12x + 1 ⇒ du = 8x − 12 dx
2x − 3
1
1
dx =
du = ln u + C = ln |4x2 − 12x + 1| + C
2 − 12x + 1
4x
4
u
5.

Arcsen x
√
dx
1 − x2

Sea u = Arcsen x ⇒ du =√

Arcsen x
√
dx =
1 − x2

6.

u du =

x sen x2 cos x2 dx
x sen x2 cos x2 dx =

7.

9.

u2
Arcsen2 x
+C =
+C
2
2

Sea u = sen x2 ⇒ du = 2x cos x2 dx
1
2

u du =

u2
sen2 x2
+C =
+C
4
4

1
1
√
dx
Sea u = ln x ⇒ du = dx
2x
x
x 1 − ln
1
1
√
√
dx =
du = Arcsen u + C = Arcsen ln x + C
x 1 − ln2 x
1 − u2
x

√

x

8.

1
dx
1 − x2

√

1dx
x2 − 1 Arcsec x

1
dx =
2 − 1 Arcsec x
x

aex + b
dx =
aex − b

Sea u = Arcsec x ⇒ du =
u du =

aex + b e−x/2
dx =
aex − b e−x/2

x

√

1
dx
x2 − 1

u2
Arcsec2 x
+C =
+C
2
2
aex/2 + be−x/2
dx
aex/2 − be−x/2

1

Mett ®
Ana Mar´ Albornoz R.
ıa

M´todos de integraci´n
e
o

2

1
Sea u = aex/2 − be−x/2 ⇒ du = (aex/2 + be−x/2 ) dx
2
x
11
1
ae +b
dx =
du = ln u + C = ln |aex/2 − be−x/2 | + C
x−b
ae
2u
2
10. Las siguientes integrales resultan inmediatas para cierto valor particular del n´ mero
u
racional r . Determine en cada caso el valor de r y calcule la integral correspondiente.
a)

3

xr ex dx
3

x2 ex dx =
b)

r = 2, u = x3 ⇒ du = 3x2 dx
1
3

xr ln x dx

1u
13
e + C = ex + C
3
3
1
r = −1, u = ln x ⇒du = dx
x

x−1 ln x dx =
c)

xr sen

√

x dx

√
sen x
√
dx = 2
x

eu du =

ln x
u2
ln2 x
dx = u du =
+C =
+C
x
2
2
√
1
1
r = − u = x ⇒ du = √
2
x dx
sen u du = −2cos u + C = −2cos

√

x+C

Integraci´n por partes
o
11.

2x
dx
1 + x2
2x
Sea u = Arcsen
∧ dv = dx ⇒
1 + x2
1
2(1 + x2 ) − 2x ∗ 2x
v = x ∧ du =
dx =
2
(1 + x2 )2
2
1 − 1+x 2
xArcsen

1
1+2x2 +x4 − 4x2
(1+x2 )2

(1+x2 )2 − 4x2
(1+x2 )2

2 − 2x2
1 + x2
2 − 2x2
dx = √
dx =
(1 + x2 )2
1 − 2x2 + x4 (1 + x2 )2

2
2
dx ⇒ du =
dx
(1 + x2 )
(1 + x2 )
Por partes queda:
2x
2x
Arcsen
dx = x Arcsen
−
1 + x2
1 + x2
2x
x Arcsen
− ln (1 + x2 ) + C
1 + x2
12.

1

2 + 2x2 − 4x2
dx =
(1 + x2 )2

1
2(1 − x2 )
dx =
(1 − x2 )2 (1 + x2 )

2x
dx=
(1 + x2 )

x Arctg (3x + 4) dx
Sea u = Arctg (3x + 4) ∧ dv = x dx ⇒ du =

1
x2
dx ∧ v =
1 + (3x + 4)2
2

Mett ®
Ana Mar´ Albornoz R.
ıa

3

M´todos de integraci´n
e
o

Por partes queda:
x Arctg (3x + 4) dx =
x2
1
Arctg (3x + 4) −
2
2

x2
Arctg (3x + 4) −
2

x2
1
dx =
2 1 + (3x + 4)2

x2
dx Dividiendo los polinomios de la integral
9x2 + 24x + 17

x2
1=
Arctg (3x + 4) −
2
2

−24x−17
1
9
+2
dx
9 9x + 24x + 17

x2
1
=
Arctg (3x + 4) −
2
2

11
−
92

−24x−17
9

9x2 + 24x + 17

dx

=

x
1
x2
Arctg (3x + 4) −
+
2
18 18

9x2

=

x2
x
18
Arctg (3x + 4) −
+
2
18 24

18x + 51
4
dx
9x2 + 24x + 17

=

x
18
x2
Arctg (3x + 4) −
+
2
18 24

18x + 51 + 45 − 45
4
4
4
dx
9x2 + 24x + 17

=x2
x
18
Arctg (3x + 4) −
+
2
18 24

18x + 24 − 45
4
dx
9x2 + 24x + 17

=

x2
x
18
Arctg (3x + 4) −
+
2
18 24

18x + 24
18
dx −
2 + 24x + 17
9x
24

=

x2
x
18
18 45
Arctg (3x + 4) −
+
ln |9x2 + 24x + 17| −
2
18 24
24 4

=

x
18
135
x2
Arctg (3x + 4) −
+
ln |9x2 + 24x + 17| −
2
18 24
16

24x + 17
dx
+ 24x + 17

Sea t = 3x + 4 ⇒ dt = 3...