Integrales Resueltas

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CONTENIDO
Área
La integral definida
Propiedades de la integral definida
Teorema del valor medio para la integral definida
Teoremas fundamentales del cálculo
Aplicaciones de la integral definida:
Área de una región en el plano
Longitud de arco de la gráfica de una función

Técnicas de integración:
Integración directa
Integración por sustituciónIntegración por partes
Potencias de las funciones trigonométricas
Sustitución trigonométrica
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador sólo tiene factores lineales
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadráticos
Integrales en las que aparecen expresiones cuadráticas
Integrales que producen funcionestrigonométricas inversas
Misceláneas de ejercicios

Tablas de integrales
Integración numérica
Integrales impropias
Miscelánea1 de ejercicios de cálculo integral

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Área
Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una
curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchostérminos; para simplificar
estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.
Sumatoria:

Propiedades de la sumatoria:

Área:
Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base
por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de
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los catetos". Latrigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el
área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo
que forman dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su
área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Esteprocedimiento
de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el área de una
figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.

(fig.1)

(fig.2)

(fig.3)

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Definición:

Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 3 halle la suma por medio de la definición desumatoria. En los
ejercicios 4 a 7 evalúe la suma que se indica utilizando las propiedades de la sumatoria. En los
ejercicios 8 a 11 evalúe el área de la región dada; emplee rectángulos inscritos o circunscritos
según se indique. Para cada ejercicio trace una figura que muetsre la región y el i-ésimo
rectángulo.

Soluciones
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8. Solución:

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9. Solución:

10. Solución:

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11. Solución:

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-

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La integral definida
Partición de un intervalo cerrado:

Suma de Riemann:

La integral definida:

Teorema:Área:

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Ejercicios resueltos

Soluciones

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Propiedades de la integral definida

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Ejercicios resueltos

Soluciones

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