Integrales Trigonometricas

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:
Partamos de la derivada de las funciones trigonométricas.
1.- DSenxdx=Cos(x)
Que podemos expresarla: DSen(x)=Cosx.dx
Integrando ambos miembros: DSen(x)=Cosx.dx
Senx=Cos(x)dx
2.- DCosxdx=-Sen(x)
Que podemos expresarla: DCosx=-Senx.dx
Integrando ambos miembros: DCos(x)=-Senx.dx
Cosx=-Senx.dx
Reescribiéndola:-Cosx=Senx.dx
3.- DTgxdx= Sec2(x)
Que podemos expresarla: Dtgx=Sec2xdx
Integrando ambos miembros: Dtgx=Sec2xdx
Tgx=Sec2(x)dx
4.- DCtgxdx= - Csc2(x)
Que podemos expresarla: DCtgx=-Csc2xdx
Integrando ambos miembros: DCtg(x)=-Csc2xdx
Ctgx=-Csc2xdx
Reescribiéndola:
-Ctgx=Csc2xdx

5.- DSecxdx= Secx.Tag(x)
Que podemos expresarla: DSecx=Secx.Tgx.dxIntegrando ambos miembros: DSecx=Secx.Tgx.dx
Secx=Secx.Tagxdx
6.- DCscxdx= -CscxCtg(x)
Que podemos expresarla: DCscx=-Cscx.Ctgx.dx
Integrando ambos miembros: DCscx=-Cscx.Ctgx.dx
Cscx= -CscxCtg(x)
Reescribiéndola:
-Cscx= CscxCtg(x)
Hemos deducido algunas integrales basados en el conocimiento de sus derivadas y la aplicación del operador inverso integral, pero solamente logramos 2integrales: Sendx y Cosxdx. Tratemos de deducir el resto
Tag(x)
Se sabe que:
Tagxdx= Sen(x)Cos(x)dx= -dCos(x)Cos(x)=-lnCosx+C.
Así también para la integral de la cotangente:
Ctgxdx
Se sabe que:
Ctgxdx=Cos(x)Sen(x)dx=dSen(x)Sen(x)=lnSenX+C.
En ambos casos esta es una deducción, pero ambas funciones varían entre -1 y 1, por lo que pueden tomar esos valores, sin embargo el logaritmo neperiano noexiste para números negativos, por lo que en el modelo debe ir necesariamente entre un valor absoluto para salvar este requisito. -lnCosx+C. Así también: lnSen(x)+C.
Para las 2 últimas integrales se requiere saber integración por partes, por ahora se le indica el modelo directamente, más adelante se le enseñará a deducir este modelo.
Secxdx= ln{Secx+Tagx}+C.
Cscxdx=ln{Cscx-Ctgx}+C.
Ahora sipodemos rehacer el cuadro con las derivadas e integrales directas
Derivadas. Integrales:
1.- DxSenx=Cos(x) Senxdx= -Cos(x)
2.- DxCosx=-Sen(x) Cos(x)dx= Sen(x)
3.- DxTgx= Sec2(x)Tgxdx=-lnCos(x)+C
4.- DxCtgx= - Csc2(x) Ctgxdx= lnSen(x)+C.
5.- DxSecx= Secx.Tag(x) Secxdx= lnSecx+Tgx+C
6.- DxCscx= -CscxCtg(x) Cscxdx= lnCscx-Ctgx+C
Las integrales deducidas anteriormente le sirven para cuando se le presente exactamente esos modelos.
Ahoravamos a trabajar sobre cada uno de estos modelos y sus variaciones.
Integrales tipo Sen(x)
Debe verse siempre como un modelo y no como una formula se sabe que:
Senxdx= -Cos(x)
Pero siempre que el ángulo sea el mismo, luego:
Hallar Sen2xdx
No tiene el mismo ángulo pero podemos arreglarlo haciendo
Sen2x22dx=12Sen2x=d2x
Ahora si podemos aplicar el modelo.
12-Cos2x=-12 Cos(2x)
HallarSen3x-2dx
Derivando el ángulo D(3x-2)dx=3 ⇒D3x-2=3dx; podemos hacer:
Sen3x-233dx=13Sen3x-23dx
13Sen3x-2d(3x-2)=-13 Cos(3x-2)
Integrales tipo Cos(x)
Debe verse siempre como un modelo y no como una formula se sabe que:
Cosxdx= Sen(x)
Pero siempre que el ángulo sea el mismo, luego:
Hallar Cos5xdx
No tiene el mismo ángulo pero podemos arreglarlo haciendo
Cos(5x)55dx=15Cos5xd5x
Ahora si podemosaplicar el modelo:
15Sen(5x)
Hallar Sen4x+6dx
Derivando el ángulo D(4x+6)dx=4 ⇒D4x+6=4dx; podemos hacer:
Sen4x+644dx=14Sen4x+64dx
14Sen4x+6d4x+6=-14Sen4x+6
¿Si las funciones tuvieran potencia?
Sen2xdx óCos2xdx
Estas integrales no están en el cuadro y no tienen modelo, así como cualquiera de ellas elevadas a cualquier otro exponente, luego se debe ir a las identidades trigonométricas...