Integrales Trigonometricas

METODOS DE INTEGRACIÓN
Algunas integrales trigonométricas
Las integrales de la forma  sin m x cos n xdx se resuelven por sustitución.
Para la solución de este tipo de integrales se considerandos casos:
Caso I:
Uno de los dos exponentes m o n es un número entero impar.
Si m es impar, se separa sin xdx y se expresan la restante potencia par de seno
en potencias de coseno, usando laidentidad trigonométrica: sin 2 x  cos 2 x  1.
Si n es impar se separa cos xdx y se expresa la restante potencia par de coseno
en potencias de seno, usando la misma identidad. El otro exponentepuede ser
negativo o fraccionario.

Ejemplo
a) Calcular  sin 3 x cos 5 xdx
Solución

 sin

3

x cos 5 xdx   sin 2 x cos 5 x sin xdx
  (1  cos 2 x) cos 5 x sin xdx
  (cos 5 x sinxdx   cos 3 x sin xdx

 Si

u  cos x  du   sin xdx  sin xdx  du

   u 5 du   u 3 du
u 4 u 2


C
4
2


1
1

C
4
4 cos x 2 cos 2 x

b) Calcular

 sin

2

3x cos 3 3xdxSolución

 sin

2

3x cos 3 3 xdx   sin 2 3x cos 2 3x cos 3xdx
  sin 2 3x(1  sin 2 3x) cos3xdx
  sin 2 3x cos 3 xdx   sin 4 3x cos 3xdx


1
1
sin 2 3 x(3 cos 3x)dx   sin 4 3x(3 cos3x)dx

3
3

1  sin 3 3x sin 5 3x 
 

C
3 3
5 

Caso II

Tanto m como n son enteros positivos pares o cero.
En este caso se utilizan las formulas del ángulo medio.

sin 2 x 

1  cos 2x
2

y
cos 2 x 

1  cos 2 x
2

Ejemplo
a) Calcular

 sin

2

x cos 2 xdx

Solución

 sin

2

x cos 2 xdx 

1
(1  cos 2 x)(1  cos 2 x)dx
4



1
(1  cos 2 2 x)dx

4



1
1
dx   cos2 2 xdx

4
4



x 1
 (1  cos 4 x)dx
4 8



x x 1
  sin 4 x  C
4 8 32

1
sin 4 x
 (x 
)C
8
4

b) Calcular

 cos

4

3xdx

Solución

 cos

4

2

3 xdx   (cos 2 3 x) dx


1
(1 cos 6 x) 2 dx

4



1
(1  2 cos 6 x  cos 2 6 x)dx

4



x sin 6 x 1

  cos 2 6 xdx
4
12
4



x sin 6 x 1

  (1  cos 12 x)dx
4
12
8



3 x sin 6 x sin 12 x


C
8
12
96...