Integrales i

INTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII . Aunque la utilidad del cálculo integral es alta y variada, ésta no se presentará con toda su fuerza hasta tomar contacto con la integral definida. El objetivo de este tema y del siguiente esmostrar las técnicas más comunes para el cálculo de integrales más o menos sencillas; una vez conocidas estas técnicas, llegará el momento de explotar su uso en el cálculo de áreas y volúmenes.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642−1727) y el alemán Leibniz (1646−1716),si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler, Fermat (1601−1665), Cavalieri (1598−1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.− Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas,quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos. Todo esto hizo que Newton,poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : paradenotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b]. Así: La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

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PROP.DE LAS PRIM. DE UNA FUNC. Primera propiedad Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x). Demostración: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero. (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x) Ejercicio:primitivas de una función

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð ð Encontrar tres primitivas de la función cos x. Resolución: ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x. ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð Segunda propiedadSi una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. Demostración: Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C. Tercera propiedad Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de lafunción f(x), entonces F(x) − G(x) = C = cte. Demostración: Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C. 2

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x); si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x). Restando miembro a...