INTEGRALES Y VOLUMEN EJERCICIOS 1 2 3 4 5 6 7 13 17

Guía de Ejercicios
Integración doble y triple
1. Al calcular por doble integración el volumen V situado debajo del paraboloide
z = x2 + y 2 y limitado por una cierta región R del plano xy , se obtiene
que :
Z 2 Z 2 y
Z 1 Z y
2
2
x2 + y 2 dx dy:
x + y dx dy +
V =
0

0

1

0

i) Determine la región R
ii) Calcular V invirtiendo el orden de integración
2. Usando integración doble y coordenadaspolares, calcular el valor exacto
del área de la región R = (x; y) =1 x2 + y 2 4; x 0; y 0 :
3. Expresar mediante una integral triple el volumen de la región acotada
superiormente por x + y + z = 1 e inferiormente por z = x2 + y 2 :
R 1=2+p3=2 R 1=2+p5=4 x2 x
p
p
R:
1 x y x2 y 2 dydx:
2
1=2

3=2

1=2

5=4 x

x

4. Usando coordenadas polares, evaluar la integral
Z Z p
16 x2 y 2 dA
R

donde R es el discode…nido por x2 + y 2
R2 R2p
R: 0 0 16 r2 drd :

4:

5. Usando integración doble y triple hallar el volumen de la región que está
al interior de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 y al interior del cono z 2 =
x2 + y 2 : Evaluar las integrales obtenidas usando coordenadas polares y
coordenadas cilindricas, respectivamente.
R 2 R p2=2 p
R: 2 0 0
r 1 r2 r drd :
6. i) Hallar el volumen de la región acotadasuperiormente por el plano z =
10 e inferiormente por la super…cie z = x2 + y 2 : evaluar usando
coordenadas polares y/o cilindricas.
R p10 R p10 x2
R =2 R p10
2
2
R: 4 0
10
x
y
dydx
=
4
10 r2 rdrd
0
0
0

ii) Usando integración triple, veri…que que el volumen del sólido límitado
superiormente por el plano xa + yb + zc = 1 y los planos coordenados,
con a; b; c > 0; es igual a abc
6 :

7. Usandointegración triple, calcular el volumen de la región del espacio
contenida en el primer octante, acotada superiormente por el plano z = 2
e inferiormente por z = x2 + y 2 :
1

8. Usando integración triple, hallar el volumen del sólido acotado por el plano
xz; el plano yz; el plano xy; los planos x = 1 e y = 1 y la super…cie
z = x2 + y 2 :
R:

2
3

9. Hallar el volumen de la región que está alinterior de la ésfera de ecuación
x2 +y 2 +z 2 = 4 y acotada lateralmente por el cilindro de ecuación x2 +y 2 =
1. Evalué usando coordenadas cilindricas
R =2 R 1 R p4 r2
rdzdrd
R: 8 0
0 0

10. Hallar el volumen del sólido que está al interior de la ésfera de ecuación
x2 + y 2 + z 2 = 1; y al exterior del cilindro de ecuación x2 + y 2 = a2 ; con
0 < a < 1: Evaluar la integral obtenida.
R 2 R a R p1 r 2
R:43
2 0 0 0
rdzdrd :

11. Hallar el volumen del sólido interior a las super…cies x2 + y 2 + z 2 = a2 y
x2 + (y a2 )2 = ( a2 )2 ; con a > 0: Usar coordenadas cilíndricas.
R:

4 3
3a

2
3

2

12. Hallar el volumen del sólido entre las super…cies x2 + y 2 + z 2 = a2 y
x2 + y 2 + z 2 = b2 ; e interior a x2 + y 2 = z 2 ; donde b > a > 0: Evaluar las
integrales obtenidas usando coordenadas esfericas.R:

4
3

b3

a3

1

p

2
2

13. Sea R la región en el primer cuadrante acotada por la recta y = x; x = 0
y el anillo 1 x2 + y 2 4: Utilice coordenadas polares para calcular
Z Z
1
dA:
2 + y 2 )2
(1
+
x
R
R:

R

=2 R 2
1
rdrd
=4 1 (1+r 2 )2

:

14. Determine el volumen de la región interior al hemisferio z =
y al cilindro x2 + y 2 4x = 0 .
R 4 R p4x x2 R p16 x2 y2
R =2 R 4 cos R p16
R: 2 0 0
dzdydx =2 0
0
0
0

p
16
r2

x2

y2

rdrd :

15. Determine el volumen de la región del espacio bajo el plano z = 3, sobre el
plano z = 2, dentro del cono z 2 = x2 + y 2 y fuera del cilindro x2 + y 2 = 4.
16. Empleando integración triple, determine el volumen de la región
p del espacio dentro de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 1 y bajo la grá…ca de z = 3x2 + 3y 2 :
R 1=2 R p1=4 x2 R px2 +y2 +z2
R =2 R 1=2 R p1 r24
p
p
4 0
4
R: 34
dzdydx
=
rdzdrd :
3
0
0
0
3r
2
2
3x +3y

2

17. Evaluar, usando coordenadas esfericas,
Z Z Z p
x2 + y 2 + z 2 dV
Q

donde Q es la región en el primer octante exterior a x2 + y 2 + z 2 = 1 e
interior a x2 + y 2 + z 2 = 4:
R =2 R =2 R 2 3
R: 0
sen d d d :
0
1

18. Calcular el volumen de la región que está al interior de la super…cie
z = x2 + y 2 ; y acotada superiormente por la...