Integrales

ALGUNAS APLICACIONES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
(ÁREAS, VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN, LONGITUDES DE ARCO)

Carmen SÁNCHEZ DÍEZ

AREAS PLANAS: El concepto de integral definida en el sentido de Riemann está indisolublemente unido al cálculo de un área plana delimitada por segmentos cualesquiera (no necesariamente rectilíneos). El área S barrida por una curva continua sobre un intervalocerrado [a, b] puede considerarse igual a la suma de las áreas de los rectángulos de base infinitesimal que pueden ser construidos en dicho intervalo cubriendo el área S:

S=

lim ∑ f ( xi ).∆xi = ∫ f ( x).dx i =1 a ∆xi → 0

∞

b

1

Área Barrida sobre un intervalo en el eje de abcisas:

S = ∫ f ( x).dx
a

b

Un área cualquiera se obtiene siempre como suma o resta de áreas barridassobre un intervalo en el eje de abcisas:

S=

x20

x10

∫ g ( x).dx + ∫ h( x).dx − ∫ f ( x).dx
x20 x10

x30

x30

2

EL ÁREA DEL CIRCULO:

La ecuación de la circunferencia centrada en el origen con radio R: x + y = R
2 2

2

De donde, la curva semicircunferencia será: 

 y = + R 2 − x 2 (sup er )   y = − R 2 − x 2 (inf er ) 

La cuarta parte del círculo que ocupael primer cuadrante del plano (superior derecha) está dado por la integral:

S 1 = ∫ R 2 − x 2 .dx
4 0

R

por lo que el área total del círculo será cuatro veces dicha área:

S circ = 4.∫ R 2 − x 2 .dx
0

R

podemos resolver la integral mediante el cambio de variables:

x = R.sen t → dx = R. cos t.dt
con lo cual quedará:
π
1 2

π
2

S circ = 4.∫ R 2 − R 2 .sen 2 t .R. cost.dt = 4 R 2 ∫ 1 − sen 2 t . cos t.dt =4 R 2 ∫ . cos 2 t.dt =
0 0 0

π

π
2

π
2

= 4R 2 ∫

2 1 + cos(2t ) 1 cos(2t ) 4R π .dt =4 R 2 ∫ .dt + 4 R 2 ∫ dt = 2 R 2 .t 02 + ( sen(2t ) = 2.R 2 . + 0 = πR 2 2 2 2 4 2 0 0 0 0 2

π

π

2

S circ = πR 2

3

VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: Entendiendo por volumen de revolución el cuerpo tridimensional engendrado por un área plana que davueltas alrededor de un eje (eje de simetría del volumen), se tienen los volúmenes más conocidos: Cono de revolución: lo engendra el área plana que define un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos. Cilindro de revolución: lo engendra el área plana que define un rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus lados. Esfera: la engendra un semicírculo cuando gira alrededor deldiámetro.

El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continua f(x) sobre un intervalo dado del eje de abcisas puede considerarse igual a la suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen V (el volumen del cilindro infinitesimal: superficie de la base –circulo de radiof(xi)- por la altura ∆xi, o sea, está dado por ∏.f(xi)2.∆xi.

V=

lim ∑ π . f ( xi ) 2 .∆xi = π .∫ f ( x) 2 .dx i =1 a ∆xi → 0

∞

b

4

EL VOLUMEN DEL CONO:

La curva que barre el área del triángulo sobre el intervalo del eje de abcisas es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Si el cono se coloca en la posición de la figura, es la recta que pasa por los puntos (0,R) y (h,0), siendo Rel radio del cono y h su altura. Por consiguiente, la ecuación de la curva es y = − Y el volumen viene dado por la integral

R x h

Vcono

πR 2 πR 2  R  = π ∫  − x  .dx = 2 ∫ x 2 .dx = 2 h h 0 h  0
h h

2

2  1 2  πR 1 2 1 2 x  = 2 . h = πR h 3  3 h 3  0

h

1 Vcono = πR 2 h 3

5

EL VOLUMEN DE LA ESFERA:

Considerando a la esfera centrada en el origen decoordenadas, el volumen se obtiene de inmediato resolviendo la correspondiente integral. Si integramos entre los límites 0 y R, resulta el volumen de la semiesfera, por lo que, multiplicando por 2 se obtiene el volumen de la esfera completa:

Vesfer

1 = 2π ∫ y .dx = 2π ∫ ( R − x ).dx =2πR ∫ dx − 2π ∫ x .dx = 2πR .x 0 − 2π . x 3 = 3 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 R

R

R

R

R

R

2 4 = 2πR 3 −...