Integrales

INTEGRAL DEFINIDA
 
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APROXIMACIÓN A LA INTEGRAL DEFINIDA.
 
Vamos a elaborar una hoja de cálculo con Excel para aproximar automáticamente la integral definida de una función en un intervalo dado. Para ello descomponemos el intervalo de integración [a,b] en 50 partes. Cada una será de amplitud h=(b-a)/50. Como aproximación del área bajo lacurva (área con signo) tomaremos la suma de las áreas de los rectángulos construidos sobre cada uno de los intervalos de la partición de [a,b]. El área correspondiente a uno de estos intervalos [ai , bi] será h*f(ai) o h*f(bi) según tomemos como altura el valor de la función en el extremo izquierdo o derecho. Si la función es monótona (creciente o decreciente) el valor real de la integral definida seencontrará entre los dos valores obtenidos en la aproximación : Σ h*f(ai) para “Int.def.izq” y Σ h*f(bi) para “Int.def.dch”. Podemos mejorar la aproximación aumentando el número de divisiones del intervalo [a,b] o sustituyendo los rectángulos por trapecios. En este caso el área de cada trapecio vendrá dada por h*(f(ai)+ f(bi))/2.
Considera . Lo que pretendemos se muestra en el siguienteejemplo:
 

 
 CONSTRUCCIÓN DE LA HOJA
 
Abre una nueva hoja de Excel e introduce en las primera celdas lo siguiente:

  | A | B | C | D | E | F | G |
1 | INTEGRAL DEFINIDA |   |   |   |   |
2 | a |   | Int.def.izq |   |   |   |   |
3 | b |   | Int.def.dch |   |   |   |   |
4 | h | =(B3-B2)/50 | Trapecios |   |   |   |   |
5 | x | f(xi) | f(xd) | (f(xi)+f(xd))/2 | h*f(xi) | h*f(xd) |h*f(xm) |
6 | =B2 |   |   |   |   |   |   |
7 | =A6+B$4 |   |   |   |   |   |   |
 
En la celda B2 introduciremos el extremo inferior a del intervalo de integración, y en la celda B3 el extremo superior b. En B4 hallaremos la amplitud de cada uno de los 50 intervalos en que dividimos [a,b]. Por tanto introducimos la expresión =(B3-B2)/50. Este valor de h será el incremento que habrá queañadir a cada valor de xi para obtener el siguiente. Los 50 valores de x se introducen desde A6 hasta A56. El primer valor coincide con la x inicial a ; por eso introducimos en la celda A6 la expresión =B2. Cada uno de los siguientes valores será igual al anterior (celda inmediatamente superior) más el incremento que figura en B4. Para ello bastaría introducir =A6+B4 en la celda A/ y rellenar haciaabajo hasta A56. Pero al hacerlo obtendríamos =A7+B5, =A8+B6, =A9+B7,.... Para evitar que cambie la referencia a B4 ( incremento) utilizamos el signo $. Por tanto introducimos =A6+B$4 en la celda A7, seleccionamos desde A7 hasta A56 y pulsamos CTRL.+J para rellenar hacia abajo. Comprueba que el último valor coincide con la x final b.
Cambia los valores de a y b en las celdas B2 y B3 y compruebacomo cambian los valores de la columna A.
 
Para la función f(x)=x2+3 habría que introducir en la celda B6 la expresión =A6^2+3 y “rellenar hacia abajo” hasta B56. Pero como estamos acostumbrados a utilizar x (piensa en la incomodidad para otras funciones de expresión más compleja) vamos a asignarle el “nombre” x a la celda A6. Para ello sitúa el cursor en la celda A6 y elige la opciónInsertar-Nombre-Definir en el menú de la barra de herramientas. Te aparecerá una ventana.
Escribe x en la primera línea y =$A6 en la última línea denominada “Se refiere a:”. Escribe =$A6 en vez de la expresión que propone Excel por defecto, ya que incluye el signo $ delante del 6 y queremos que la referencia a x se actualice al “rellenar hacia abajo”.
 

 
Tras aceptar ya podemos introducir en B6 laexpresión =x^2+3 ( o también x*x+3) y “rellenar hacia abajo” hasta B56. No olvides incluir el signo . Recuerda que Excel no puede interpretar 5x como 5*x.
 
Para crear un gráfico con la representación de la función y poder apreciar, entre otras cosas, las zonas de “área positiva y negativa” sigue los siguientes pasos:
* Selecciona las celdas comprendidas entre A6 y B56.
* Elige la...