Integrales

Integración por fracciones parciales.
Este método es también conocido como fracciones simples, y consiste en la descomposición de funciones racionales en otras funciones racionales más simples a lasque se pueda aplicar ya las formulas básicas de integración. Para comprender las ventajas de este método consideraremos la siguiente integral:
1x2-5x+6dx
Se puede resolver la integral sin aplicarla descomposición en fracciones parciales completando un cuadro y haciendo un cambio de variable trigonométrico.
Para esto resulta mas fácil darse cuenta que si descomponemos en fracciones parcialestenemos:

De tal manera que la integral se resuelve de manera más sencilla:

Este método es claramente preferible, no obstante du eficacia depende de la habilidad para factorizar el denominador yencontrar así las fracciones simples.

Para efectuar todo polinomio con coeficientes reales se puede factorizar, en factores lineales y factores cuadráticos por ejemplo:

Donde x-1 es un factorlineal y (x+1)2 es un factor lineal repetido y x2+1 es un factor cuadrático irreducible gracias a esta factorización podemos escribir la descomposición en fracciones parciales de la forma:

Donde N(x)es un polinomio de grado menor que 5 en la forma:

Fracción impropia:
Si N(x)/D(x) es una fracción impropia ( o sea si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador dividimosN(x) por D(x) para obtener:
P(x)Q(x)=un polinomio+ P1(x)Q(x)
Donde el grado de N1(x) ya no es menor que el de D(x), posteriormente podemos descomponer la fracción según sea el caso.
Casosparticulares en la descomposición de fracciones parciales.

Caso “A” Todos los factores de Q(x) son lineales y ninguno se repite. Esto es:



Donde ningún par de fracciones es idéntico. En este caso seescribe:

Caso B: Todos los factores de Q(x) son lineales y algunos se repiten:
Entonces se aplica lo siguiente:

Caso C: Todos los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno se...