Integrales

Integración
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en laingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Conceptos y aplicaciones
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Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada conun fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.

Aproximaciones a la integral de √x entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).
Para empezar, se considerará la curva y = f(x) entrex = 0 y x = 1, suponiendo que f(x) = √x. La pregunta es:
¿Cuál es el área bajo la función f, al intervalo desde 0 hasta 1?
Esta área (todavía desconocida) será la integral de f. La notación para esta integral será
.
Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor dela integral tiene que ser de alguna forma más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte el intervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así √1⁄5, √2⁄5, y así hasta √1 =1. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos seobtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por losrespectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).
Con respecto al cálculo real de integrales, el teoremafundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = 2⁄3x3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función...