Integrales

Integrales impropias
Una integral es impropia si:
Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie)
La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b] (impropia de 2ª especie)
Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos situaciones:
o Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor correspondecon el valor del límite (ejemplo superior).
o Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor queda indeterminado.
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞.
Integrales impropias
• Integrales impropias de primeraespecie (función continua en una semirrecta): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de convergencia dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson.• Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y las de primera especie.
• Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado, salvo en unnúmero finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema fundamental.

Integral indefinida
Como has visto, hemos definido la integral como un límite.
Vamos a intentar formalizar lo expuesto hasta ahora.
Recuerda que en el apartado anterior hemos definido la norma de una partición.
La relaciónentre la norma y el nº de subintervalos que tomemos en una
partición general [a,b] será:
(b-a) / ||∆|| ≤ n
Si la norma tiende a cero, está claro que n (nº de subintervalos en [a,b])
tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtener un valor exacto de la integral.
El caso contrario no siempre es cierto, es decir, el que haya infinitos subintervalos
no implica necesariamente que la normatienda a cero. Por ejemplo sea ∆n la partición
del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera:
Como ves, los subintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños,
cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello no evita
que tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será la norma de la partición ∆n.
Tomemos pues el límite siguiente:
El que exista dicho límiteimplica que para todo ε > 0, existirá un δ > 0
tal que si:
∆ < δ
entonces se cumple
Intuitivamente ésto quiere decir que:
A medida que hago más pequeña la norma, el valor del sumatorio se aproxima cada vez más al límite L.
Ahora estamos en condiciones de dar la definición de Integral definida
Si f(x) está definida en el intervalo [a,b]
(única condición impuesta por Riemann, puesto queahora la definición de Integral definida
va a ser mucho más amplia que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva)
Y existe el límite
(tal y como lo hemos definido arriba)
Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b]
y lo escribimos
A a y b se le llaman límites inferior y superior de integración.
En la práctica, el cálculo de las integrales definidas se basa en el Teoremafundamental del Cálculo
(descubierto por distintos caminos por Newton y Leibniz).
Este teorema viene a decir que la derivación y la integración son operaciones inversas
y que para calcular la integral se realiza una antiderivación
que consiste en hallar una función primitiva F(x) de aquella a la que se le quiere
calcular la integral f(x) y operar de la siguiente forma:
( F’(x) = f(x) + cte. )...