integrales

Integrales y ejemplos de aplicaci´n
o
I.

´
PROPOSITO DE ESTOS APUNTES

Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducci´n a la noci´n
o
o
de integral. De ninguna manera se pretende seguir un tratamiento riguroso, sino que se
intenta presentar una noci´n intuitiva del concepto de integral y algunos ejemplos de sus
o
aplicaciones. Este material fue escrito con laintenci´n de cubrir la situaci´n inconveniente de
o
o
que algunos alumnos que se encuentran cursando F´
ısica General I no realizaron previamente
el curso de Matem´ticas I ´ C´lculo I, u otro curso en d´nde se estudien estos temas.
a
oa
o
Dado que en cierta medida esta situaci´n es ajena a la responsabilidad de los estudiantes,
o
entendimos pertinente realizar esta gu´ para permitirlesmanejar problemas en los cu´les es
ıa
a
necesario calcular integrales. La resoluci´n de tales tipos de ejercicios es totalmente necesario
o
en el curso de F´
ısica General I. Se espera que los estudiantes tomen lo antes posible el curso
correspondiente de Matem´ticas, a efectos de tener la formaci´n adecuada al momento de
a
o
cursar materias m´s avanzadas de la carrera.
a

II.

LAVELOCIDAD COMO UNA DERIVADA

Dado que los conceptos que manejaremos aqu´ ser´n posteriormente utilizados en la
ı
a
resoluci´n de problemas de F´
o
ısica, resulta natural comenzar con ejemplos tomados de la
misma. Consideremos una part´
ıcula que se mueve en una cierta direcci´n fija, es decir
o
se mueve a lo largo de una l´
ınea recta. Supongamos que medimos la posici´n de la misma
ousando una coordenada x, tal como se muestra en la figura 1. La posici´n x, ser´ una funci´n
o
a
o
del tiempo t. Esto quiere decir que para cada valor de t, x tendr´ un valor determinado.
a
Podemos expresar esto denotando x = x(t), y representarlo como una curva, como se muestra
en la figura 2. A medida que transcurre el tiempo, la posici´n de la part´
o
ıcula ir´ cambiando, y
a
eldesplazamiento ∆x de la misma entre los instantes t1 y t2 est´ dado por ∆x = x(t2 ) − x(t1 )
a
. Se define a la velocidad media vm en el intervalo (t1 , t2 ) mediante la relaci´n
o
vm =

x(t2 ) − x(t1 )
t2 − t1

Supongamos que ahora, manteniendo fijo el valor de t1 , consideramos un valor de t2 m´s
a
cercano a t1 . El valor de vm en el nuevo intervalo ser´ en general diferente al obtenido en
a1

x
0

Figura 1

x

t
Figura 2

el intervalo anterior. Supongamos que consideramos ahora otros valores de t2 , cada vez m´s
a
cercanos a t1 . Los valores de t1 se ir´n acercando un cierto valor v . Diremos que ese es el
a
valor de la velocidad instant´nea en el instante t1 (para ciertas funciones x(t) el valor de
a
v podr´ ser ∞, pero en estos casos la funci´n x(t) no es f´ıa
o
ısica, dado que part´
ıculas reales
no tienen velocidad infinita). Dado que la velocidad instant´nea depende del valor de t1
a
elegido, esta es una funci´n del tiempo, y podemos expresarla en la forma v = v (t). La
o
definici´n de la velocidad instant´nea se puede escribir usando el concepto de l´
o
a
ımite, en la
forma
v (t1 ) = lim

t2 →t1

x(t2 ) − x(t1 )
t2 − t1

Estoquiere decir que v (t1 ) es el valor al cu´l se acerca el cociente q (t) =
a

(1)
x(t2 )−x(t1 )
t2 −t1

a

medida que t2 se acerca t1 . (De manera m´s formal, en general, definimos que
a
L = lim q (t)
t→t1

si para cualquier n´mero arbitrario > 0, existe un n´mero δ > 0, tal que para todo t entre
u
u
t1 − δ y t1 + δ , se verifica que | q (t) − L |< ).
En los casos en que est´ definidoel valor de q (t) en t = t1 , el l´
a
ımite L es el valor q (t1 ).
2
t − t1
Ejemplo: obtener el l´
ımite lim 2
. Sustituyamos el valor t por t1 y veamos que
t→t1 t − t
1
t2 − t
sucede. En este caso obtenemos t1 −t1 = 1, por lo que entonces el l´
ımite es 1.
2
1
1

2

En otros casos, sin embargo, el valor de q (t) no est´ definido en t = t1 . Esto es lo que
a
sucede en el...