Integrales

Cap´
ıtulo 4

Propiedades de la integral
En este cap´
ıtulo estudiaremos las propiedades elementales de la integral.
En su mayor´ resultar´n familiares, pues las propiedades de la integral en
ıa
a
R se extienden sin dificultad al caso de funciones de varias variables.
Teorema 4.1 Sean A un subconjunto acotado de Rn , f, g : A −→ R funciones integrables, c ∈ R. Entonces:
(i) f + g esintegrable, y
(ii) cf es integrable, y
(iii) |f | es integrable, y |
(iv) Si f ≤ g , entonces

A (f

A cf

=c

A f|
Af

+ g) =

≤

≤

Af

+

A g.

A f.
A |f |.

A g.

(v) Si A tiene volumen, y |f | ≤ M , entonces |

A f|

≤ M v (A).

(vi) Si f es continua, A tiene volumen y es compacto y conexo, entonces
existe x0 ∈ A tal que A f (x)dx = f (x0 )v (A).
(vii) SeanA, B conjuntos acotados de Rn , y sea f : A ∪ B −→ R. Supongamos que y que las restricciones de f a A, B y A ∩ B (que denotamos por f|A , etc) son integrables. Entonces f es integrable, y
A∪B f = A f + B f − A∩B f .
(viii) Sean A, B conjuntos acotados de Rn , y sea f : A ∪ B −→ R. Supongamos que f es integrable en A ∪ B , y que tanto A como B tienen
volumen. Entonces las restricciones de f aA, B y A ∩ B son integrables, y A∪B f = A f + B f − A∩B f .
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CAP´
ITULO 4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

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En particular, en cualquiera de los casos (vii) u (viii) anteriores, si
A ∩ B tiene medida cero, entonces A∪B f = A f + B f .
Las propiedades (i) y (ii) nos dicen que el conjunto de las funciones integrables sobre un conjunto dado es un espacio vectorial, y que la integral,definida sobre este espacio vectorial (de dimensi´n infinita), es un operador
o
lineal. Por otra parte, la propiedad (vi) se conoce como teorema del valor
medio integral.
Demostraci´n:
o
(i) Sea S un rect´ngulo que contenga a A, y extendamos f y g a S haci´ndolas
a
e
cero fuera de A, como es habitual. Sea ε > 0. Por el teorema de Darboux
1.10, existe δ1 > 0 tal que, si P1 es cualquier partici´nde S en subrect´nguo
a
los S1 , ..., SN cuyos lados tienen longitud menor o igual que δ1 , y x1 ∈ S1 ,
..., xN ∈ SN , entonces
N

|

f (xi )v (Si ) −
i=1

ε
f| ≤ .
2
A

An´logamente, existe δ2 > 0 tal que, si P2 es cualquier partici´n de S en
a
o
subrect´ngulos R1 , ..., RM cuyos lados tienen longitud menor o igual que δ2 ,
a
y z1 ∈ R1 , ..., zM ∈ RM , entonces
M

|

f(zi )v (Ri ) −
i=1

ε
g| ≤ .
2
A

Sea δ = m´ {δ1 , δ2 }, entonces, para toda partici´n de S en subrect´ngulos
ın
o
a
T1 , ..., TK de lados menores que δ , y para cualesquiera x1 ∈ T1 , ..., xK ∈ TK ,
se tiene que
K

|

(f (xi ) + g (xi ))v (Ti ) −

|

g| ≤
A

K

f (xi )v (Ti ) −
i=1

f−
A

i=1
K

f| + |
A

g (xi )v (Ti ) −
i=1

g| ≤
A

εε
+ = ε.
22Teniendo en cuenta otra vez el teorema de Darboux otra vez, esto significa
que f + g es integrable en A, y A (f + g ) = A f + A g .
(ii) Podemos suponer c = 0 (la conclusi´n es evidente si c = 0). Sea ε > 0.
o
Sea S un rect´ngulo que contenga a A, y extendamos f a S poniendo f = 0
a
fuera de A. Como f es integrable, por el teorema de Darboux existe δ > 0

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tal que si P es una partici´nde S en subrect´ngulos S1 , ..., SN de lados
o
a
menores o iguales que δ , y x1 ∈ S1 , ..., xN ∈ SN , entonces
N

|

f| ≤

f (xi )v (Si ) −
A

i=1

ε
,
|c|

lo que implica que
N

|

f | ≤ ε.

cf (xi )v (Si ) − c
A

i=1

Por el teorema de Darboux, esto prueba que cf es integrable en A, y
c A f.

A cf

=

(iv ) Sea S un rect´ngulo que contiene a A, y extendamos fy g a S por 0 en
a
S \ A como es habitual. Para toda partici´n P de S , como f ≤ g tenemos
o
que
L(g − f, P ) ≥ 0,
luego
sup{L(g − f, P ) : P partici´n de S } ≥ 0
o
es decir,

A (g

− f ) ≥ 0, y aplicando (i) y (ii) se obtiene

Af

≤

A g.

(iii) Como |f | es continua en todos los puntos que f lo es, tenemos que
Disc(|f |) ⊆Disc(f ), y como este ultimo conjunto tiene...