Integrales

Espacio euclidiano

* Recta en el espacio: tenemos las siguientes ecuaciones de la recta

Ecuación vectorial de la recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del espacio, alineados con un punto P y con una dirección dada.
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que, luego es igual a multiplicado por un escalar:

Grafica

Ecuaciónparamétrica de la recta:
Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:

Ecuaciones continuas de la recta :
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta:
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuacionescontinuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas

Ejercicio
1. Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es .
Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones en forma continua

Ecuaciones implícitas

* Forma general de la ecuación delplano:

Para determinar un plano se necesitan un punto Po(xo ,yo ,zo) y un vector normal al plano. La ecuación del plano viene entonces dada por la relación:
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0 A.x + B.y + C.z + D = 0 (1)
Donde D = -A.xo - B.yo - C.zo

Se pueden considerar varios casos particulares según que uno o dos de los coeficientes de la ecuación (1) sean nulos.

a) Plano paraleloal eje OX. Se tiene A = 0 y la ecuación toma la forma:
| B.y + C.z + D = 0Siendo el vector director normal al plano de la forma:

|
b) Plano paralelo al eje OY. Se tiene B = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + C.z + D = 0Siendo el vector director normal al plano de la forma:

| |

c) Plano paralelo al eje OZ. Se tiene C = 0 y la ecuación general toma la forma:
| A.x+ B.y + D = 0Siendo el vector director normal al plano de la forma:

|

d) Plano que pasa por el origen. Se tiene D = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + B.y + C.z = 0
e) Plano perpendicular al eje OZ. Se tiene en este caso A = 0, B = 0 y la ecuación general toma la forma:
C.z + D = 0 ; z = Cte.Esta ecuación puede considerarse también como la correspondiente a un plano paraleloal plano XOY. | |

f) Plano perpendicular al eje OY o, lo que es igual, paralelo al plano XOZ. Se tiene en este caso A = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:
B.y + D = 0 ; y = Cte.
g) Plano perpendicular al eje OX o, lo que es igual, paralelo al plano YOZ. Se tiene en este caso B = 0, C = 0 y la ecuación general toma la forma:
A.x + D = 0; x = Cte.
Plano que pasa por dospuntos.- Siendo Po , P1 y P2 tres puntos no consecutivos pertenecientes a un plano, podemos considerar un punto genérico P de dicho plano y determinar entonces tres vectores dados por las siguientes coordenadas:
| |

Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios, es que su producto mixto sea nulo, podemos hacer:

Como caso particular de estaecuación se puede calcular la ecuación segmentaria del plano. Se trata de saber la ecuación del plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos
x = a ; y = b ; z = c.
Según lo anterior se tiene:
Po = (a,0,0) ; P1 = (0,b,0) ; P2 = (0,0,c) ; P = (x,y,z)
Y la ecuación segmentaria del plano quedará en la forma:
y desarrollando el determinante: b.c.x + a.c.y + a.b.z = a.b.co, lo que esigual : | |

Ecuación normal del plano.- Conocidos los cosenos directores de un vector perpendicular al plano y siendo d la distancia del plano al origen de coordenadas, la ecuación del plano toma la forma:

Posiciones relativas de dos planos.- Siendo los planos de ecuaciones:

El ángulo que en general forman dichos planos viene dado por la ecuación:

Cuando los planos son paralelos,...