integrales

MATEMÁTICAS BÁSICAS
INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA
SUMA DE RIEMANN

[a, b] , al conjunto de puntos
intervalo se le conoce como partición del intervalo [a, b] .

Sea un intervalo cerrado

Esto implica que:

Pn = { xo , x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅, xn

}

contenidos en dicho

x0 = a, xn = b, xi −1 < xi donde i = 1, 2, 3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ n

A cada subintervalo se le conoce como celda. A ladistancia entre los puntos extremos de cada celda se
le conoce como amplitud de la celda.
La amplitud de la primera celda es:

∆1 x = x1 − x0

La amplitud de la segunda celda es:

∆ 2 x = x2 − x1

La amplitud de la tercera celda es:

∆ 3 x = x3 − x 2

Gráficamente:

a

b

x
xo x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x 10 x 11

x 12 x n

Como se puede advertir, laamplitud de las celdas viene dado por la diferencia de sus valores finales e
iniciales. Por lo tanto, en general, la amplitud de cada celda viene dada por:

∆ i x = xi − xi−1
A la mayor amplitud de las celdas de una partición se le denomina norma de la partición y se le denota
por

∆

.

Ejemplo.
Dado el intervalo [0,6], efectuar dos particiones diferentes de seis celdas y en cada casodeterminar cuál
es su norma.
1

Integral definida e indefinida

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Solución.
a) Si se hace una partición de igual amplitud:

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

1

2

3

4

5

6

x

∆1 x = x1 − x0 = 1 − 0 = 1

∆ 2 x = x2 − x1 = 2 −1 = 1
∆ 3 x = x3 − x 2 = 3 − 2 = 1
∆ 4 x= x4 − x3 = 4 − 3 = 1
∆ 5 x = x5 − x 4 = 5 − 4 = 1
∆ 6 x = x6 − x5 = 6 − 5 = 1
∴ su norma es

∆ =1

b) Se hace una partición de la manera que se indica:

x0

0

x1

x2

x3

x4

x5

0 .8

1 .7

2 .9

3 .6

4 .9

2

x6

6

x

Integral definida e indefinida

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

∆1 x =x1 − x0 = 0.8 − 0 = 0.8
∆ 2 x = x2 − x1 = 1.7 − 0.8 = 0.9
∆ 3 x = x 3 − x 2 = 2 .9 − 1 .7 = 1 .2
∆ 4 x = x4 − x3 = 3.6 − 2.9 = 0.7
∆ 5 x = x5 − x4 = 4.9 − 3.6 = 1.3

∆ 6 x = x6 − x5 = 6 − 4.9 = 1.1
∴ la norma de esta partición es

∆ = 1.3

()

Sea una función y = f x definida y limitada en un conjunto D. Considérese una partición en dicho
conjunto que contenga n subintervalos.
Si seescoge un punto ξ en cada subintervalo de la partición de forma tal que:

ξ1 ∈ [x0 , x1 ]
ξ2 ∈ [x1 , x2 ]
ξ 3 ∈ [x2 , x3 ]

o bien:

o bien:

x1 ≤ ξ2 ≤ x2
x 2 ≤ ξ 3 ≤ x3

o bien:

xi −1 ≤ ξ i ≤ xi

o bien:

y en general:

ξi ∈

[xi−1 , xi ]

x0 ≤ ξ1 ≤ x1

Si se forma la suma de productos del valor de f en cada punto ξ por la amplitud de la celda respectiva, se
tendrá:f (ξ1 )∆1 x + f (ξ 2 )∆ 2 x + f (ξ 3 )∆ 3 x + f (ξ 4 )∆ 4 x + ⋅ ⋅ ⋅ + f (ξ i )∆ i x + ⋅ ⋅ ⋅ + f (ξ n )∆ n x
que en forma concentrada se puede representar como:
n

∑ f (ξ )∆ x
i

i =1

i

expresión que se conoce como Suma de Riemann.
Esta expresión calcula la suma de cada una de las bases (las celdas,

( )

∆x ) por su respectiva altura (que

son las f ξ ) de una función, dadauna partición. Esto determina la suma de las áreas de los rectángulos
formados.
Ejemplo.

y = − x 2 + 16 con 0.5 ≤ x1 ≤ 3 , obtener la suma de Riemann para la función dada la
partición: x0 = 0.5, x1 = 1, x2 = 1.3, x3 = 1.9, x4 = 2.1, x5 = 2.5, x6 = 2.9, x7 = 3

Dada la función

Solución:
Los puntos elegidos de cada celda son:

ξ1 = 0.8, ξ 2 = 1.2, ξ 3 = 1.5, ξ 4 = 2, ξ 5 = 2.3, ξ 6 =2.7, ξ 7 = 2.95

Graficando se tiene:

3

Integral definida e indefinida

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y

16

12

8

4

0.5

1

0.8

1.3

1.2

1.9 2.1

1.5

2

2.5

2.3

x

2.9 3

2.7 2.95

La suma de Riemann es:
7

∑ f (ξ )∆ x = f (ξ )∆ x + f (ξ )∆
i =1

i

i

1

1

2

2...