Integrales

ineINTEGRALES TRIPLES COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
Si una región S de R3 tiene un eje de simetría, las integrales triples en S son más fáciles de evaluar se emplean coordenadas cilíndricas.Si la región es simétrica con respecto a un punto, entonces convine elegir el punto como origen y emplear coordenadas esféricas.
En esta sección se estudiaran las integrales triples en estos sistemascoordenados y luego se aplicaran a ciertos problemas físicos.
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENDAS CILINDRICAS
Las ecuaciones que resuelven el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas y viceversason:
x=r.cosθ
y=r.senθ
z=z
Sea S={ (x,y,z)/(x,y)∈ D, u1(x,y)≤z≤u2(x,y)} una región del espacio cuya proyección sobre el plano xy es el conjunto:
D={(r,θ)/α≤θ≤β , h1(θ)≤r≤h2(θ)}Supongamos que f:S→R es una función continua sobre el conjunto S.
Sf(x,y,z)=dx dy dx= Sf(rcosθ,rsenθ,z)J(r,θ,z)dz dr dθ
Donde:
Jr,θ,z=Ә(x,y,z)Ә(r,θ,z)=r , es el Jacobiano, por lo tanto se tiene:Sf(x,y,z)=dx dy dx= Sf(rcosθ,rsenθ,z)r dz dr dθ
Escribiendo esta integral en forma cilíndrica, obtendremos:
Sfx,y,zdV=αβh1(θ)h2(θ)u1(r.cosθ ,r.senθ)u2(r.cosθ ,r.senθ)f(r.cosθ ,r.senθ,zrdzdrdθ)
Que es laintegral triple en versión a las coordenadas cilíndricas

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENDAS CIRCULARES
En el sistema coordenado es equivalente a una caja rectangular es una cuña esférica:E=ρ,θ,∅:a≤θ≤β,c≤θ≤d
Donde a≥0,β-α≥2π y d-c≤π

Dividamos el conjunto E en cuñas esféricas más pequeñas Eijk . El volumen de Eijk está dado aproximadamente por:
∆Vijk=∆pp1∆ϕp1.senϕk∆∅=pi2senϕk∆p∆θ∆ϕ
Con ayudadel teorema de valor medio, el volumen de Eijk está dado exactamente por:

∆Vijk=ρi2senϕk∆p∆θ∆ϕ
Donde (ρi , θj ,ϕk)es algún punto de Eijk. Sean (xijk*,yijk*, zijk*) las coordenadas rectangulares deeste punto. Entonces
Ef(x,y,z)dV= liml,m,n→∞i=1lj=1mk=1nfxijk*,yijk*, zijk*∆Vijk
lim⁡l,m,n→∞i=1lj=1mk=1nfρisen ϕkcosθj,ρisen ϕksenθj , ρicosθjρi2senϕk∆p∆θ∆ϕ

Por lo tanto la integra triple...