Integrales

Integración
Integración Indefinida
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o anti derivada de una función es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f. Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, quedifieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
  ó  
El proceso de hallarla primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo integral, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
Ejemplo
La integral indefinida o primitiva de la función f(x) =cos(x) en “R” es la función F(x) = sen(x) ya que sen′(x) = cos(x). Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sen(x), sen(x) + 5, sen(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sen(x) + C donde C es una constante.
La integral definida: de una función representa el árealimitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Dada una función f(x) de unavariablereal x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral:

Es igual al área de la región del plano “xy” limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denominaintegral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración.
Aplicándolo a la curvaraíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada F(x) = 2⁄3x3/2 y simplemente coger F(1)−F(0), donde 0 y 1 son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).)

De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como:

Tablade Integrales
FUNCIÓN SIMPLE | FUNCIÓN COMPUESTA |
dx-+c | |
k dx-kx+c | |
x4 dx-xn+1n+1n≠1 | uxdx-u(x)n+1n+1+c n-1 |
dxx-lnx+ c | u(x)u(x)dx-lnux+c |
exdx-anlna+c | auxu(x) dx-eux+c |
axdx-axlna+c | axuuxdx-au(x)lna+xc |
sinxdx=-cosx+c | sinu xdx=-cosu x+c |
cosxdx=sinx+c | cosuxdx=sinu (x)+c |
1cos2xdx=tg x +c1+tg2 x dx= tg x +c | u2xcos2ux=tg ux+c1+tg2uxu´(x)=tgu (x) +c|
-1sen2xdx=cotg x +c-1-cotg2 x dx=cotg x +c | -u2sen2u(x)dx=cotg u(x) +c-1-tg2 u(x)dx=cotg x +c |
senxcos2xdx=sec x +c | u´xsenu(x)cos2u(x)dx=sec u(x) +c |
-cosxsen2xdx=csc x +c | -u´xcos⁡(x)sen2u(x)dx=csc u(x) +c |
11-x2dx=arcsenx+c | u´(x)1-u2(x)dx=arcsen u(x)+c |
-11-x2dx=arccosx+c | -u´(x)1-u2(x)dx=arccos u(x)+c |
11-x2dx=arctgx+c | u´(x)1-u2dx=arctgu(x)+c |

Ejemplos:...