Integrales

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Aplicaciones de la integral

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometría, en Física, en Economía e incluso en Biología. Por sólo citar algunosejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Hallar el área de regiones planas. Obtener los volúmenes de sólidos de revolución. Calcular volúmenes de sólidos con secciones conocidas. Determinar la longitud de arco de una curva. Examinar el comportamiento aleatorio de variables continuas (función de densidad probabilidad).Conocer el valor promedio de una función. Hallar momentos (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa o centroide (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente). Encontrar la presión ejercida por un fluido. Calcular el trabajo realizado de mover un objeto de un punto a otro. Obtener velocidades y aceleraciones de móviles. Conocer el superávit delconsumidor (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar un artículo a un precio dado). Determinar el flujo sanguíneo (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco (volumen de sangre bombeado por el corazón por unidad de tiempo.

A continuación se profundiza en las primeras dos aplicaciones enlistadas.

CÁLCULO DE ÁREASPLANAS
Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología: 1. 2. 3. 4. 5. Se trazan las curvas que limitan el área que se desea conocer. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas. Se determina la zona de la que hay que calcular el área. Se decide que variable conviene integrar Se procede a integrar bajo los límites encontrados.

Ejemplos. Hallar el área limitadapor las siguientes condiciones: 1) Curva Solución:

y = x 2 , el eje x y por las rectas x = 1 y x = 3

1

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Aplicaciones de la integral

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y 16

12

Área

8

4

1

2

3

4

x

x3 27 1 26 A = ∫ x dx = = − = ≈ 8.66 u 2 3 1 3 3 3 1
2

3

3

2) El eje y , la curva Solución:

x =8 + 2 y − y 2 y por las rectas y = −1 y y = 3

y

Área

4 3 2 1 x

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 y3  1  A = ∫ 8 + 2 y − y dy =  8 y + y 2 −  = (24 + 9 − 9 ) −  − 8 + 1 +    3  −1 3   −1
3 2

(

)

3

 20  92 = 24 −  −  = ≈ 30.66 u 2 3  3 
3) Curva Solución:

y = x 2 − 7 x + 6 , el eje x y por las rectas x = 2 y x = 6

2

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Aplicaciones de la integral

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y 4 2 2 4 6 x -2

-4

-6 Área

Por situarse debajo del eje de integración
6

(x ) , debe afectarse todo por un signo negativo.
6

 x3 7   216 7  8 7  A = ∫ − x − 7 x + 6 dx = −  − x 2 + 6 x  = −  − (36) + 36  −  − (4 ) + 12   3 2  2  3 2   3  2 2  8   2  56 = − (72 − 126 + 36) −  − 14 + 12  = − (− 18) −   = ≈ 18.66 u 2 3   3  3  
2

(

)

4) Curva Solución:

y = x 3 − 6 x 2 + 8 x y el eje x

y

2

Área

2

4

x

-2

La curva corta al eje
2

x

en 0, 2 y

4

∴ A = ∫ x 3 − 6 x 2 + 8x dx − ∫ x 3 − 6 x 2 + 8 x dx
0 2

(

)

4

(

)

3

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

 x4   x4   =  − 2 x 3 + 4 x 2  −  − 2 x 3 + 4 x 2  = [(4 − 16 + 16) − (0)] − [(64 − 128 + 64) − (4 − 16 + 16)]  4   4  0  2 2 = 4+4=8u
5) Hallar el área comprendida entre la parábola Solución:
y 4 3 2 1 Área

2

4

y 2 = 4 x y la recta y = 2 x − 4

-1 -2 -3 -4

1

2

3

4...