integrales

En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor almatemático Carl Gustav Jacobi.
En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puedeserembebida.
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximarlinealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencialjacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentesaún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera  continua es decir  se dirá que es diferenciable si existe unaaplicación lineal  tal que:
(1)

Función escalar
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar  en este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila quecoincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación (1)automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial
Supongamos  es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacioeuclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas...