INTEGRALES

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL II

FASCÍCULO 2. LA INTEGRAL INDEFINIDA
UNA VISIÓN ESTÁTICA

Autores: Luisa Guerrero Chávez
Mauro Enrique Vázquez Muñoz

1

COLEGIO DE
BACHILLERES

Colaboradores:

Asesoría Pedagógica:

Revisión de Contenido:

Diseño Editorial:
Leonel Bello Cuevas
Javier Darío Cruz Ortiz

2

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN
PROPÓSITO

5CAPÍTULO 1. INTEGRAL INDEFINIDA

9

7

1.1 ANTIDERIVADA O FUNCIÓN PRIMITIVA

12

1.2 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

15

1.3 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

19

1.4 DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE

23

1.5 COMPARACIÓN ENTRE INTEGRAL
INDEFINIDA Y DEFINIDA

28

1.6 ALGUNOS CASOS BÁSICOS DE
INTEGRALES INDEFINIDAS

30

RECAPITULACIÓN

36

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN37

AUTOEVALUACIÓN

38

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

39

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

40

3

4

INTRODUCCIÓN

La integral definida

b

∫ f ( x )dx
a

expresada como la suma

∑ f ( x )∆x

permite calcular el área

bajo una curva con base en el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual faculta la
evaluación de una integral definida rápidamente. También ayudará aentender la
diferencia y similitudes entre la integral indefinida y la integral definida.
En algunos ejemplos se encontrará que el intervalo de integración es variable, por lo
tanto, lo que se resolverá serán integrales indefinidas con base en lo aprendido en
Cálculo Diferencial e Integral I, ya que deberás obtener una función antiderivada o
primitiva F(x) tal que su derivada sea la funciónoriginal, esto es:
dF ( x )
= f (x)
dx

5

6

PROPÓSITO

El cálculo diferencial y el cálculo integral son procesos inversos cuyo análisis de relación
se alcanza con el contenido del presente fascículo, el cual pretende que al concluir su
estudio:

¿QUÉ APRENDERÁS?

El Teorema Fundamental del Cálculo
y a resolver integrales indefinidas y
definidas.

¿CÓMO LO APRENDERÁS?Mediante la relación existente entre
ambas integrales y el procedimiento
de evaluación y solución de dichas
integrales

¿PARA QUE TE VA A SERVIR?

Para evaluar una integral definida
(área bajo una curva) de funciones
elementales y para determinar el
valor de la constante de integración
que se indica explícitamente en cada
integral indefinida.

7

8

CAPÍTULO 1. LA INTEGRALINDEFINIDA
Durante un recorrido en autobús, un estudiante observó que el velocímetro marcaba 15
km/h y que este trayecto se hizo en una hora; al llegar a una parte de subidas y curvas la
velocidad era de 40 km/h, y al salir de éstas la velocidad era de 60 km/h. Al circular en la
autopista, la velocidad era de 90 km/h. Con estos datos el observador hizo la siguiente
gráfica.
v (km/h)
80
60
40
20t (h)
1

2

3

4

Figura 1.

Esta gráfica representa los cambios de velocidad en un intervalo de tiempo, pero no dice
cuántos kilómetros son, ya que son resultados acumulados de razones de cambio, mas
al tomar la suma de los productos de las razones de cambio multiplicados por el intervalo
el resultado obtenido será la suma total de los procesos de cambio. Por consiguiente,
paraobtener la distancia total se tiene:
15 km/h(1h) + 40 km/h(1h) + 60 km/h(1h) + 90 km/h(1h);
entonces la distancia resulta:
15 km + 40 km + 60 km + 90 km = 205 km.

9

La figura 2 representa la distancia total recorrida en 4 h.
s (km)

205

205

115
55
15

t (h)
1

2

3

4

Figura 2.

De acuerdo con las gráficas se puede establecer que obtener la distancia que recorre elautobús implica sumar o integrar esa razón de cambio simbólicamente, por lo tanto,

∫ vdt = s

función desplazamiento

función velocidad
o inversamente, Si es la distancia o desplazamiento lo que se tiene y deseas obtener la
ds
=v.
velocidad, debes derivar la función desplazamiento
dt
Lo anterior es una explicación que te ayudará a entender el porqué de ciertas funciones
continuas;...