integrales

EJERCICIO.




Calcule la función a trozos.

En la gráfica observamos que el trozo de la función definido en el intervalo [-1.5,0)=[-3⁄2,0) es una parábola que pasapor los puntos:
(x_1,y_1 )=(-1.5,0)=(-3⁄2,0)
 (x_2,y_2 )(-1,1)
 (x_3,y_3 )=(0,1.5)=(0,3⁄2)

Como sabemos la ecuación de una parábola es y=ax^2+bx+c.
Ahora en base a lospuntos (x_1,y_1 ),(x_2,y_2 ) y (x_3,y_3 ) encontraremos los valores de a,b y c.

Reemplazando (x_3,y_3 )=(0,3⁄2) en la ecuación mencionada tenemos:

3⁄2=a(0)^2+b(0)+c
 3⁄2=0+0+c c=3⁄2

También reemplazamos los puntos (x_1,y_1 ),(x_2,y_2 ) para hallar los valores de a y b.

En (x_1,y_1 ) tenemos
0=a((-3)⁄2)^2+b(-3⁄2)+c
0=(9⁄4)a-(3⁄2)b+3⁄2(9⁄4)a-(3⁄2)b=(-3)⁄(2 )
En (x_2,y_2 )

1=a(-1)^2+b(-1)+3⁄2
1=a-b+3⁄2
b-a=1⁄2

Las dos ecuacionesforman un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas a y b.

Despejando b de la primea ecuación obtenemos:

(3) b=a+1⁄2

Reemplazando b en(2):

(9⁄4)a-(3⁄2)(a+1⁄2)=-3⁄2
(9⁄4)a-(3⁄2)a-3⁄4=-3⁄2
(3⁄4)a=-3⁄4
a=-1

Reemplazando a en (3):

b=-1+1⁄2=-1⁄2

Por lo tanto, la función definida en el intervalo[-1.5,0)es la parábola:

y=-x^2-x⁄2+3⁄2


En el intervalo [0,0.5]=[0,1⁄2] está definida la resta que pasa por los puntos:

(x_1,y_1 )=(0,0.5)=(0,1⁄2)
(x_2,y_2 )=(0.5,1)=(1⁄2,1)

Conpendiente:
m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(1-1⁄2)/(1⁄2-0)=1

Usando la ecuación punto-pendiente se halla la ecuación de la recta:

y-y_1=m(x-x_1 )
y-1⁄2=1(x-0)
y-1⁄2=x
y=x+1⁄2Por último en el intervalo [0.5,1.5]=[1⁄2,3⁄2] está definida la función constante 1.
Por lo tanto, la forma analítica de la función es:
f(x={█(-x^2-x⁄2+3⁄(2 , -3⁄2≤x