Integrales

4° año

Trabajo virtual. Actividades realizadas de los sitios web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_definida2/integral 1.htm#Barrow; http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/calculo_areas_integral_defi nida_jafp/areas_fperiodica.htm.

Trabajo Virtual.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Actividad de la Integral Definida. Regla deBarrow:
1) Calcula una primitiva G(x) de f(x) = x2-2x+2. 2) Calcula G(b) y G(a) 3) Calcula la integral I = G(b) - G(a) y comprueba el resultado con el que aparece en la escena. 4) Este resultado coincide con el valor del área del recinto coloreado de verde. 5) Modifica los valores de a, b y repite los pasos anteriores. 6) ¿Cuánto vale la integral si a=b? 7) Coge un valor c entre a, b y por ejemploa=1, c=2, b=3 calcula la integral definida entre a, c, la integral definida entre c, b y la integral definida entre a, b. ¿Qué relación existe entre ellas?

Repuestas: 1) G(x) = ∫ 2) G(b)=
G(a)=

=∫

=

Para a=1 y b=4 calculamos: G(4)= G(1)= 3) I = G(b) - G(a) viene dado por I = ∫ I=∫ =[ ] G(4) - G(1) = =[ – =

= = ]

Los cálculos realizados coinciden con el Resultado obtenido en la gráfica.Trabajo Virtual.

5) Para a=-2 y b=0 calculamos: G(-2)= G(0)= I = G(-2) - G(0) = = –0= =

6) Si a=b la integral I = G(b)- G(a)= a por b, ya que por hipótesis son iguales, obtenemos: I= )–( ) = 0. Ejemplo: Para a=b=2

, reemplazando

7) Buscamos un valor c, entre (a; b), siendo a=-1; c=1 y b=5 y calculamos: G(1)= G(5)= I=∫ I=∫ I=∫ ∫ = [ = [ = [ ∫ = = ] = G(1) - G(-1) = = — = = y G(-1)= =

] = G(5) -G(1) = ] = = G(5) - G(-1) = =

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La relación que existe es que la suma de la integral definida entre -1, 1 y la integral definida entre 1, 5 es igual a la integral definida entre -1, 5. Esto se debe al teorema que nos dice que la integral, como función de intervalo, es aditiva. Dicho teorema es: Si f es continua en [a; b] y a
+

=Trabajo Virtual.

Actividad del Signo de la Integral:
1) Aplicando la Regla de Barrow calcula la integral de f(x) = x2-1 entre a=1, b=2. 2) ¿Qué signo tiene la integral? 3) Calcula, modificando los valores de a, b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1, b=1. 4) ¿Qué signo tiene ahora la integral? 5) Calcula, modificando los valores de a, b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1, b=2. 6) ¿Cuántovale la integral? 7) Intenta encontrar una relación entre el signo de la función f(x) y el signo de la integral. Respuestas: 1) Aplicando la regla de Barrow para f(x) = x2-1 entre a=1, b=2 obtenemos: G(x) = ∫ G(1)= I=∫ = = [ =∫ y G(2)= = = ( )=

] = G(2) - G(1) =

2) La integral de f(x) entre a=1 y b=2 tiene signo positivo.

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3) Calculamos la integral entre a=-1 y b=1: G(-1)= I=∫ =[ = ] y G(1)= = ) =

= G(1) - G(-1) = (

4) La integral de f(x) entre a=-1 y b=-1 tiene signo negativo. 5) Calculamos la integral entre a=-1 y b=2: G(-1)= I=∫ = [ = ] y G(2)= = =

= G(2) - G(-1) = ( ) –

6) La integral de f(x) entre a=-1 y b=2 vale cero. 7) La relación que se puede encontrar entre el signo de la función f(x) y el signo de su integral es la que se deduce de las propiedades:  Sif(x) > 0 en el intervalo [a; b], la integral ∫  Si f(x) < 0 en el intervalo [a; b], la integral ∫ > 0; < 0;

 Si f(x) cambia de signo en el intervalo [a; b], la integral ∫ nos da la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje x, cada una con su signo.

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ÁREA DEL RESINTO LIMITADO POR UNA FUNCIÓN PERÍODICA
Actividad del área del recinto limitado por unafunción periódica que toma valores positivos y negativos:
1) En la escena, obtén el área del recinto que aparece rayado verticalmente en el intervalo [-π/2; 3π/2] para la función f(x)=sen(x). 2) Halla el área de la región limitada por f(x)=2cos(x)-3 y el eje de abscisas entre x=-π y x=π. Respuestas: 1) En la escena, para obtener el área del recinto que aparece rayado verticalmente en el...

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