integrales

Integrales impropias
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.Carácter y valor de las integrales impropias
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:
Primera especie
Son del tipo: ó 
Presentan una asíntota horizontal.
Segunda especie
Son del tipo: yque  no está definida en el intervalo de integración o en cualquier punto del dominio o los extremos de integración.
Presentan una asíntota vertical.
Tercera especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.
Este tipo de integrales impropias se puedendividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

Se dice que el límite de una sucesión es uno de losconceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo deintegración es infinito, ya sea de la forma (a, ∞), (-∞, b) o bien (-∞, ∞), pero la función esta acotada. Para cada uno de los casos indicados se define y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito y divergente en caso contrario.

-Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler
La forma habitual de calcular una integralimpropia, por ejemplo -x2 dx, es hallar una primitiva del integrando, aplicar la regla de Barrow y determinar si existe el límite
dx. Sin embargo, hay una clase amplia de funciones continuas (como por ejemplo la función f(x)=e-x2 ) cuyas primitivas no son calculables por métodos elementales. En estos casos puede que nos interese saber, al menos, si la integral converge, aunque no sepamoscalcular su valor. Los criterios de convergencia son condiciones que nos permiten garantizar la convergencia de algunas integrales impropias.

EJEMPLO. Veamos que la integral-x2 dx es convergente, es decir, que existe
dx. Sabemos que -x2 dx es una función creciente de r, con lo cual, cuando r → ∞, su límite tiende a infinito (si no está acotada) o bien, su límite es finito (si está acotada).Veamos que ocurre esto segundo. Para ello, observa el siguiente gráfico.


Entonces, para cada x ≥1 tenemos que e-x2 ≤ e-x , para x ≥1. Esto nos dice que la curva de ecuación 2x y e− = está situada entre el eje OX y la curva de ecuación , x y e− = como podemos observar
en la figura. Ahora bien, para r >1, tenemos que 2
1 1
1 1.
r r xx r e dx e dx e
e e
−− − ≤ =− ≤ ∫ ∫ Por tanto, losvalores2
1
r x e dx −
∫ están acotados por 1
e
y, en consecuencia, existe el siguiente límite
lim lim 1 1
r x r
r r
e dx e
e e
− −
→∞ →∞
⎛ ⎞ ≤ ⎜ ⎟ − += + ⎝ ⎠ ∫

y la integral 2
0
x e dx
∞ −
∫ es convergente.

La técnica empleada en este ejemplo sugiere el siguiente criterio.
∫ se verifica que:
PROPOSICIÓN (CRITERIO DE COMPARACIÓN). Sean
f ,g:[a,b)→\ dos funciones...