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UNIVERSIDAD DEL CAUCA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y DE LA EDUCACION DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Taller 1 de C´lculo I (Mat 102) - Repaso de funciones. a 8 de marzo de 2010 Profesor: Tulio Emiro L´pez Erazo o Oficina: Departamento de Matem´ticas, Of. 307. a E-mail: tele2607@hotmail.com Recordemos algunos conceptos. ´ Definicion 1 (Funci´n) Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto X yel conjunto Y , una funci´n es una regla o o que asocia a cada objeto de X (llamado Conjunto de partida) uno y solo un objeto de Y (llamado Conjunto de llegada). El conjunto X se llama dominio de la funci´n. Los objetos de Y , asociados con los objetos en X forman otro conjunto o llamado rango de la funci´n. Para simbolizar funciones, usualmente usamos letras min´sculas del alfabeto espa˜ol, o un tales como f , g, h, etc. Observaci´n 1 Si f es una funci´n y x es un objeto del dominio de la funci´n, entonces el s´ o o o ımbolo f (x) se usa para designar el objeto en Y que corresponde a x. As´ f (x) es llamado imagen de x mediante f y x es llamado preimagen ı, de f (x). De esta forma, notamos una funci´n como sigue: o f: X x → → Y f (x)

´ Definicion 2 (Funci´n real) Una funci´n real esuna funci´n en la cual el conjunto de partida X = R y el conjunto o o o de llegada Y = R. Observaci´n 2 No siempre el dominio de una funci´n corresponde al conjunto de partida. De esta forma, se acoso o tumbra simbolizar una funci´n real como sigue: o f : Df (⊆ R) → R x → f (x) Df es llamado dominio de la funci´n. o ´ Definicion 3 (Gr´fica de una funci´n real) La gr´fica de una funci´n real f , condominio Df se define como el a o a o conjunto de pares ordenados (x, y) tales que x ∈ Df y y = f (x). En s´ ımbolos: Gf = {(x, y) : x ∈ Df ∧ y = f (x)} . ´ Definicion 4 (Intercecto con el eje x) Un punto (x, f (x)) se dice que es un intercecto de la gr´fica de la funci´n a o f con el eje x si y solo si x ∈ Df y f (x) = 0. ´ Definicion 5 (Intercecto con el eje y) El punto (0, f (0)) se dice que es elintercecto de la gr´fica de la funci´n f a o con el eje y si y solo si 0 ∈ Df y f (0) ∈ Rf , donde el s´ ımbolo Rf representa el Rango de f . Ejemplo 0.0.1 Las figuras de abajo ilustran las gr´ficas de algunas funciones reales. Debe ser del inter´s de cada uno a e de nosotros conocer las gr´ficas de otras funciones reales que no aparecen referenciadas abajo. a

1

Figura 1: Funciones Seno yCoseno

Figura 2: Funciones Tangente y Cotangente

Figura 3: Funciones Secante y Cosecante

Figura 4: Funci´n Exponencial: f (x) = ax , a > 0, a = 1 o

2

Figura 5: Funci´n Logar´ o ıtmica: f (x) = loga x, a > 0, a = 1

Figura 6: Funciones: f (x) = |x|, f (x) =

√ x

Figura 7: Funciones: f (x) = x2 , f (x) = x3

Figura 8: Funci´n Lineal: f (x) = mx + b o

3

Figura 9: Casosparticulares de la Funci´n Lineal o

Figura 10: Funciones Seno hiperb´lico y Coseno hiperb´lico o o

Figura 11: Funci´n Constante y Funci´n Signo o o

1. Dada la funci´n real f , encuentre el dominio de cada una de ellas. o f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = √ √ √ √ x+3 x+3 25 − x2 3 +2 x2 x f (x) = √ 2 − 3x + 2 x −8 f (x) = √ x f (x) = f (x) = f (x) = 1 − |x| 1 f(x) = ax , a > 0 a = 1 f (x) = loga x, a > 0 a = 1 f (x) = f (x) = log 5x − x2 4

x2 − 16 √ 3 x+2 √ 3 x+2 x−3 x+6 1 x3 − x

1 log (1 − x)

|x| − x f (x) = [|x|] − 1 f (x) = [|x − 1|] 4

ex − e−x 2 x e + e−x f (x) = cosh x = 2 f (x) = senh x =

f (x) = sen x f (x) = cos x f (x) = tan x

f (x) = cot x f (x) = sec x f (x) = csc x

f (x) = arc sen x f (x) = arc cos x f (x) = arctan x2. Bosqueje la gr´fica de cada una de las siguientes funciones. a f (x) = x f (x) = −x f (x) = x + 1 f (x) = 2 − 3x f (x) = x2 f (x) = −x2 f (x) = 0,5x2 f (x) = 2x2 f (x) = x2 + 3x − 2 f (x) = 1 − 4x − x2 1 f (x) = x 1 f (x) = x−1 1 f (x) = x+1 −1 f (x) = x √ f (x) = x √ f (x) = −x √ f (x) = x + 2 √ f (x) = x − 3 √ f (x) = 1 + x √ f (x) = 2 − x f (x) = e f (x) = e
x x+1

f (x) = e−x f (x) = e...