Integrales

INTEGRALES Uno de los problemas importantes en Cálculo es la determinación de la antiderivada de una función dada, es decir encontrar la función primitiva de la cual se conoce su derivada Una antiderivada o primitiva de la función f es una función F tal que F’(x) = f(x) siempre y cuando f(x) esté definida. Ejemplo Dada la función f(x) = 3x 2 , entonces F(x) = x 3 es una antiderivada o primitivade f(x), ya que
d x 3 = 3x 2 , también son antiderivadas de f(x) = 3x 2 las dx 1 funciones G(x)= x 3 + 17, H(x) = x 3 - 20, T(x) = x 3 etc. 2

( )

Si F’(x) = f (x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva P de f en I tiene la forma P(x) = F(x) + C donde C es una constante. Integral Indefinida La expresión ∫ f ( x )dx representa la integral indefinida de f(x) con respectode la variable x. Así si F es cualquier primitiva de f en el intervalo I, entonces la primitiva más general de f en I tiene la forma F(x) + C Entonces

∫ f ( x )dx

= F ( x) + C

⇔

d (F ( x ) + C )= f ( x ) dx

El símbolo de la integral ∫ es una letra S alargada que corresponde a una sumatoria como se verá cuando se trate el tema de la integral definida.

Profesora: María ElisaVodnizza Lira

2

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

Ejemplos Calcular las siguientes integrales 1)

∫

dx dx = ln x + C x

⇔

(ln x + C )' = 1

x

2) ∫ Cos x dx = Sen x + C ⇔ (Sen x + C )' = Cos x Esta claro que para encontrar una antiderivada de una función dada, es necesario recordar las derivadas de las distintas funciones estudiadasanteriormente. Propiedades. De las propiedades estudiadas para las derivadas se deduce que: a) ∫ [ f ( x ) + g( x ) − t ( x )]dx = ∫ f ( x )dx + b) ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx De cada una de las fórmulas fundamentales de derivación, podemos deducir una fórmula elemental de integración, las que se pueden probar derivando el segundo miembro de la igualdad. INTEGRALES INMEDIATAS
u n +1 +c 1) ∫u du= n+1
n

∫ g( x )dx

−

∫ t ( x )dx

2)

du ∫ u =ln u + c

3) 5)

u u ∫ e du=e + c

4) 6)

 1  u a u du= a + c ∫  ln a 

∫ Senu du=− Cos u+ c

∫ Cos u du= Senu+ c

Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

3

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

7) 9) 11)

∫ Sec

2

u du= tg u+ c

8) 10) 12)

∫ Co sec udu= − cot g u+ c
2

∫ Sec u tg u du= Sec u+c

∫ Co secu cot g u du=− cos ec u + c
du 1 u = arc tg + c 2 ∫ a +u a a
2

∫
∫u

 u = arc sen  + c a a 2 − u2 du
1 u = arc sec  + c a u2 − a 2 a du

13)

Ejercicios Resueltos
1) Calcular ∫ 4 x 2 + 5 x − 6 dx = 4 ∫ x 2dx + 5 ∫ x dx − 6 ∫ dx Propiedades a) y b)

[

]

= 2) Calcular ∫
8x − 3 dx 4x − 3x + 5
2

4 3 52 x + x − 6x + C 3 2

Fórmula 1

Cuando en el integrando se presenta el cuociente de dos polinomios, es conveniente calcular la derivada del denominador y tratar de formarla en el numerador. Haciendo u = 4 x 2 − 3 x + 5 , du = (8 x − 3) dx entonces

∫ 4x

2

8x − 3 dx = − 3x + 5

∫

du = ln u + C u

= ln 4 x 2 − 3 x + 5 + C

Fórmula 2

3) Calcular

∫

No parececorresponder a ninguna de la fórmulas de integrales inmediatas, pero dividiendo los polinomios tenemos:

x3 + x2 + x + 2 dx x +1

(x

3

+ x 2 + x + 2 ÷ (x + 1)= x 2 + 1

)

resto 1

Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

4

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE – CHILE DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

x3 + x2 + x + 2 1 La fracción = x2 + 1 + x +1 x +1

Así

∫

x3 + x2 + x + 2 dx= x +1

∫ x 



2

+1 +

1   dx x + 1 dx = x +1 x3 + x + ln x + 1 + C 3

= ∫ x 2dx + ∫ dx + ∫ 4) Calcular ∫ e 5 x dx Haciendo u = 5x, du = 5dx

∫e

5x

dx =

∫e

u

du = dx entonces 5 1 1 1 du = ∫ e u du = e u + C = e 5 x + C 5 5 5 5

Fórmula 3

5) Calcular

∫
2

dx 9 − 4x2

∫

dx 9 − 4x

se puede escribir como

∫

dx 3 − (2 x )
2 2

que...