integrales

*Aplicación de la derivada
*Curvas y funciones
*Parábola, elipse, hipérbola
*Funciones creciente y decreciente
*Concavidad y punto de inflexión
*Valores máximos y mínimos


INTRODUCCIÓN
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye elcálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
2. Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un puntodel dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura semuestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1.
Indicación. Dosrectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas




La función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.
Tabla de derivadas de algunas funciones elementales
1) f(x) =k  f´(x) =0
2) f(x) = xn  f´(x) = nxn-1
3) f(x) =  f´(x) =4) f(x) = ln x  f´(x) =
5) f(x) = ex  = ex
6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x
7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x
Reglas de derivación
Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:
-(f +g)´= f´(a) + g´(a)
-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)
Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica
-
Ejercicio 6. Calcula la derivada de:a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)
c) h(x) = tan x; d)

Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:
a) f(x)=
Observación: la gráfica de esta función es:
b) y =
c) g(x)=

Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.
Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puedellegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,
y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.

Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= ex; b) g(x) = ; c) h(x)= sen x.

Regla de la cadena
Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable en a y se verifica:
(fg)´(a) = f´(g(a)).g´(a)
Que se llama la regla de lacadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)


Derivación logarítmica
Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si  y’ , y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

Método:
Sea
1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad
ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)
2º Se deriva3º Se despeja y’
[ ] [ ]

que puede escribirse :

Observación. La fórmula por ser muy “compleja no suele aplicarse es preferible aplicar el método en cada ejercicio.

Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:
, y derivando los dos miembros de la igualdad
 y’=xx(ln x +1)
Derivada de la función inversa
Es otra...