integrales

AUTOR: PROF. EDUARDO RODRÍGUEZ GUERRERO

Teorema fundamental del cálculo

Considerando la siguiente figura,

1

Ejemplos

2

Reglas básicas de integración
Este tipo de integrales reciben la denominación de inmediatas o directas,
porque para encontrar su solución basta con utilizar una lista de integrales
conocida con el nombre de "Tabla de integrales inmediatas".
Dado que elproceso de "integración" puede considerarse como el proceso
inverso del de "derivación", cada uno de los resultados que se reportan para
cada integral puede derivarse
y comprobar que se obtiene la función
diferencial que aparece como integrando en la integral correspondiente.
En la tabla de integrales que se muestra en la página siguiente, aparecen
únicamente aquellas que se consideranbásicas. Existen otras tablas que
contienen un mayor número de integrales; sin embargo, es importante
mencionar que todas ellas pueden resolverse aplicando un "método de
integración" apropiado.

3

4

Se mencionó anteriormente que los procesos de derivación y de integración
constituyen procesos inversos, debido a lo cual a partir de la derivada de
algunas funciones básicas se puede crear asu vez una tabla de integrales
también básicas también conocidas como integrales inmediatas o directas.
A continuación se deducen algunas de estas integrales.

∫
(

)

(

)

(

)

∫ (

)

∫(

)

(

) ∫

∫ (

)

∫(

)

(

) ∫

(

)∫

∫

∫
(

)

∫ (

)

∫

∫

∫

3.- ∫
(

)

∫ (
∫

)

∫

∫

∫

∫
(

)

∫ (

)

∫∫

5

Integración de funciones algebraicas y exponenciales y
trigonométricas

En los ejemplos que se muestran a continuación se aplican las siguientes
integrales inmediatas. En donde se requiera, se hace uso de un simple cambio
de variable a fin de tener una integral inmediata o directa en caso de que la
integral propuesta no lo sea.

∫

∫

Integrales algebraicas
∫
Solución:∫
∫
Solución:

∫

∫
Solución:

∫

∫

∫
6

Solución:

∫

∫

∫
Solución:

∫

∫

∫

=

∫
Solución:

∫

∫

∫

∫
Solución:

∫
Integrales exponenciales
7

∫
Solución:
Entonces la integral propuesta se lleva a la forma
inmediata

∫

∫

∫
Solución:

Entonces,

∫

(

∫

)

∫
Solución:

Por lo que:

∫

∫

(

)

∫Solución:

Por lo tanto,
8

∫

(

∫

∫(

)

)

Solución:

∫(

)

∫(

)

∫(

)

∫(

∫

∫

∫

∫

)

Integrales trigonométricas

9

10

11

Método de integración utilizando diversos cambios de variable
A) Para las integrales que contienen expresiones de la forma

n

au  b

Se utiliza el cambio de variable

au  b  z n

Por ejemplo,
En

2x  1

Cambio de variable: 2 x  1  z

2

12



En

3x  2 Cambio de variable: 3x  2  z 5

5

B) Para integrales que contienen expresiones de la forma

1
n

x x

1
m

 ...

Se aplica el cambio de variable x  z P
En donde el exponente “P” corresponde al mínimo común múltiplo de los
denominadores “m”, “n”,…
Ejemplos:

x1 / 2  x1 / 3



En

En x

1/ 2

Cambio de variable

 x  z6

 x1 / 3  x1 / 4 Cambio de variable  x  z

12

C) Las integrales que contienen expresiones de la forma

u 2  pu  q
Se racionalizan con el cambio de variable

u 2  pu  q  ( z  u) 2

Por ejemplo,

x 2  5x  1



En



En x 2  3 x  2

Cambio de variable

 x 2  5 x  1  ( z  x) 2

Cambio de variable

x 2  3 x  2  ( z  x) 2

Nota:
Teniendo ya el cambio de variable se procede a despejar a la variable x, se
determina su diferencial se y se lleva a cabo la sustitución correspondiente en
la integral propuesta, siguiendo entonces el proceso de solución.

13

Ejemplos:
1)

 1

x
x

dx  ?

En este caso, la expresión
cambio de variable

x

es de la forma

au  b ,...