integrales

Unidad 2

Integrales Indefinidas

2.1

CONCEPTOS BÁSICOS .......................................................... 2

2.1.1 Concepto de Antiderivada.................................................................2
2.1.2 Integral Indefinida ............................................................................2
2.1.3 Propiedades de la Integración Indefinida........................................3
2.1.4 Tabla básica de integrales ................................................................5

2.2

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ............................................... 6

2.2.1 Integrales inmediatas........................................................................6
2.2.2 Sustitución Simple.............................................................................7
2.2.3 Integración por Parte......................................................................10
2.2.4 Sustitución Trigonométrica.............................................................12
2.2.5 Fracciones Parciales ......................................................................14

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2.1Conceptos Básicos
2.1.1 Concepto de Antiderivada
La función F (x) se llama antiderivada de la función continua f (x) en el
intervalo [a,b] si en todos los puntos del intervalo se verifica que F ' ( x) =
f (x)

Es decir, dada una función f (x) se desea hallar una función F (x) cuya
derivada sea igual a f (x) .

Ejemplo:
Hallar la función primitiva de f ( x) = x 3
Se puede deducir que F ( x) =
⎛x4
de F (x) es: F ' ( x) = ⎜
⎜ 4
⎝

x4
es la antiderivada de f (x) ya que la derivada
4

'

⎞
4x3
⎟ =
= x3
⎟
4
⎠

2.1.2 Integral Indefinida
Observe que en el ejemplo anterior podría considerar como antiderivada de
f ( x) = x

3

la función

x4
F ( x) =
+2
4

x4
o más generalmente F ( x) =
+ C donde
4

C es cualquier constante real

Propiedad fundamental delas antiderivadas
Si F (x) es una antiderivada de la función continua f (x) , entonces cualquier
otra antiderivada de f (x) tiene la forma F ( x) + C para alguna constante C.

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La familia de funciones antiderivadas de f (x) de la forma F ( x) + C se
representan por el símbolo

∫ f ( x) dx = F ( x) + C
denominadoIntegral Indefinida de f . Donde ∫ es el signo integral, f (x) es
el integrando, dx indica que el proceso de antiderivación (integración) es con
respecto a la variable x y C se denomina constante de integración.
Ejemplo:

∫ 4x
∫ 5t

3

dx = x 4 + C

4

dt = t 5 + C

2.1.3 Propiedades de la Integración Indefinida
Las dos propiedades más importantes de la integración son las siguientes:1. La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las
integrales de dichas funciones. Es decir,

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx.
Demostración:
Por un lado,
Por otro lado,

(∫ [ f ( x) + g ( x)]dx)' = f ( x) + g ( x) .
(∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx)' = (∫ f ( x)dx )'+ (∫ g ( x)dx)' = f ( x) + g ( x).

Nota: de la misma manera se demuestra con la diferenciaentre funciones.
2. La integral del producto de un número por una función es igual al
producto del número por la integral de dicha función. Es decir,

∫ k ⋅ f ( x)dx = k ⋅ ∫ f ( x)dx.
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Demostración:
Por un lado

(∫ [k ⋅ f ( x)]dx)' = k ⋅ f ( x) .

Por otro lado, (k ⋅ ∫ f ( x)dx )' = k ⋅ (∫ f ( x)dx )' = k ⋅ f ( x).Ejemplo :
Aplicando las propiedades anteriores, calcule

∫ (sen( x) + 3 ⋅ x

2

) dx

Solución:

∫ [sen( x) + 2 ⋅ x ]dx = ∫ sen( x) dx + ∫ 2 ⋅ x
2

2

dx

= [cos( x) + C1 ] + 2 ⋅ ∫ x 2 dx
⎡ x3
⎤
= [cos( x) + C1 ] + 2 ⋅ ⎢ + C 2 ⎥
⎣3
⎦
= cos( x) +

2 3
x + (C1 + C 2 )
1 24
4 3
3
C

2
= cos( x) + x 3 + C
3

Observación:
Para verificar la respuesta al calcular una...