integrales

TRABAJO EXTRA DE CONSULTA
POR: Andrea Zumba Merino
Fecha: 02-04-2014
Lic.: Jorge Santin
INTEGRALES

Dada una función  de una variable real  y un intervalo  de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano  limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales  y , donde son negativas las áreas por debajo del eje . 
La palabra "integral" también puede hacerreferencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente,una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usadopor primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Aproximaciones a la integral de entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por laderecha (abajo).
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con unfondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.
Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:
1. Inicialmente se puede considerar una curva  entre  y , suponiendo que .
2. La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la función , en el intervalo desde  hasta ? Es que el área coincidirá conlaintegral de . La notación para esta integral será
.
Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad dado por los lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la integral tendrá que ser más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se parte elintervalo en cinco pasos, empleando para la aproximación los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5, así hasta 1. Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada pedazo de la curva, así , , … y así hasta . Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f,multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman doce y se toma el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valoraproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los...