integrales




UNIDAD I: INTEGRAL INDEFINIDA

LA ANTIDERIVADA

El Concepto operativo de LA ANTIDERIVADA se basa en una operación contraria a la derivación.

Definición

Se dice que una función es una antiderivada de una función si en algún intervalo.

Ejemplo 1:
La antiderivada de

En general la antiderivada de la función es una familia de funciones que en el ejemplo anterior estárepresentada por donde es una constante cualquiera

Notación

La antiderivada de se representa por donde:

Al símbolo se le llama símbolo de la integral

A la expresión se le llama integral indefinida de con respeto a

La función se denomina integrando.

es el diferencial de “x” e indica la variable respecto a la cual se integra.

Al número se lellama constante de integración

El proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración.

Recordemos que : , entonces , luego

Al término se lee el diferencial de .

Reglas para diferenciales

Si y entonces









Ejemplo 2:

Si entonces la

Ejercicio 1:

Verifique para cada unos de los problemas siguientes que laantiderivada o integral indefinida de es

a)



Solución

Observemos que:

Por tanto:
b)





c)





d)




e)




f)






Propiedades de la integral indefinida

Si , entonces

1.

2. , para cualquier constante
Algunas antiderivadas básicas conocidas

1.
2.


3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ejercicio 2:

Evaluar cada una de las integrales indefinidas siguientes

a)


b)

c)



d)



e)




f)





g)



h)


i)



j)


TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Existen técnicas para evaluar integrales indefinidas como las del ejemplo 1












INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
(U SUSTITUCIÓN)

Observemos que

SiSustituyendo las expresiones anteriores en obtenemos el resultado siguiente:

Para resolver se hace un cambio de la variable a la variable , para ello se hace

Ejemplo 3

Evaluar

Solución










Ejercicio 3:

a) Evaluar









b) Evaluar









c) Evaluar






d) Evaluar








e)








f)g)











h)












i)










INTEGRACION POR PARTES

Sea funciones diferenciables (derivables)



La fórmula anterior es útil cuando es más fácil de calcular que .

La clave de esta fórmula en una integración consiste en saber distinguir a quien llamarle “u” y a quien llamarle “dv”

Un recurso bastante útil es la frasesiguiente:

ILATE : Inversa Logarítmica Algebraica Trigonométrica Exponencial.
Nos da la pauta de a que expresión llamarle “u”

Ejemplo:

En este caso tenemos una algebraica: x y una exponencial . Entonces llamaremos a la algebraica (aparece primero en la frase ILATE)

Luego, si , entonces dv es el resto, es decir,. De ahí que

Por lo tanto, aplicando la fórmulaEjercicio 4:











Ejercicio 5:













Ejercicio 6:















Ejercicio 7:











Ejercicio 8:








INTEGRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS


Identidades trigonométricas básicas

1)
2)
3)
4)
5)

Si en la identidad 2) se hace



6)

Si en la identidad 4) se hace7)
De la identidad 1) obtenemos

8)


9)




Sustituyendo estas últimas dos identidades en la identidad 7) obtenemos





10)





11)

Sumando la identidad 2) y 3) obtenemos







12)

Sumando la identidad 4) y 5) obtenemos





13)

Si a al identidad 5) le restamos la...