Integrales

Integración

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Integración
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños que están bajo la curva. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso deintegración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculointegral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

Principales objetivos del cálculo integral
Sus principales objetivos a estudiar son: • • • • • • • • • • Área de unaregión plana Cambio de variable Integrales indefinidas Integrales definidas Integrales impropias Integrales múltiples (dobles o triples) Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales Métodos de integración Teorema fundamental del cálculo Volumen de un sólido de revolución

Integración

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Teoría
Dada una función intervalo de una variable real y un de la recta real, la integrales igual al área de la región del plano entre la gráfica de y debajo del eje . , el eje

limitada

, y las líneas verticales

, donde son negativas las áreas por

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral

se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas. Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración seconecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería. Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base departirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntosdel plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación demuchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

Historia
Integración antes del cálculo
La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra...