Integrales

Definicin F(x) es una primitiva de f(x) si F (x) f(x) Por ejemplo Si f(x) 2x, F(x) x2 Si f(x) cos x, F(x) sen x Observacin Podemos ver que hay, en un principio, muchas primitivas de la funcin f(x) 2x, por ejemplo, F(x) x2, es una de ellas, pero F(x) x2 7, tambin lo es. Nuestro problema ahora, consiste en hallar todas las primitivas de una funcin f(x) dada. Para esto veamos elsiguiente teorema Teorema Si F(x) y G(x) son dos primitivas distintas de f(x) entonces existe una constante k ( IR tal que F(x) G(x) k Demostracin Si F(x) y G(x) son dos primitivas distintas de f(x) entonces F(x) G(x), entonces F(x) G(x) 0, entonces (F(x) G(x)) 0 Pero, nosotros ya sabemos que si la derivada de una funcin es 0, entonces, dicha funcin es constante, por lo que F(x) G(x) c con c( IR, por lo que F(x) G(x) c, que era lo que queramos demostrar. Conclusin Dada una funcin f(x), si encontramos una primitiva F(x), el conjunto de todas las primitivas de f(x) ser F(x) c con c ( IR. Notacin Llamaremos integral de f(x) y lo notaremos EMBED Equation.3 al conjunto de todas las primitivas de la funcin f(x). Por ejemplo EMBED Equation.3 x2 c, donde dx es el diferencial dex, al que nos referiremos ms adelante. Propiedades de la integral 1) EMBED Equation.3 2) EMBED Equation.3 3) EMBED Equation.3 (k ( IR) Estas propiedades se deducen directamente de las propiedades de la derivada. Lamentablemente, no hay ninguna propiedad que nos permita integrar un producto o un cociente de funciones, para hacer este tipo de integrales veremos algunos mtodos de integracinms adelante. Para poder integrar, necesitamos, al igual que para derivar, una tabla EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Ejercicios Verifiquen si F(x) es o no primitiva de f(x) siendo EMBED Equation.3 f(x) x F(x) sen x cos x 5 f(x) cos x sen x F(x) ex . ln x 2 f(x)EMBED Equation.3 F(x) 3x5 8x 9x 7 f(x) 15x4 16x 9 7 F(x) EMBED Equation.3 f(x) EMBED Equation.3 F(x) x . ln x x f(x) ln x Dada la funcin f(x) x . sen x determinen cuales de las siguientes funciones puede ser primitiva de f(x) F(x) 2x cos x F(x) -x cos x 2x sen x 2 cos x 8 F(x) 2x cos x -5 F(x) EMBED Equation.3 (-cos x) F(x) 2x sen x -x cos x 2 cos x Ninguna de lasanteriores Encuentren una funcin F(x) primitiva de EMBED Equation.3 que verifique F(2) 8 Encuentren una funcin F(x) primitiva de EMBED Equation.3 que pase por el punto (-2, 5) Resuelvan las siguientes integrales indefinidas HYPERLINK http//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm1.gif INCLUDEPICTURE ../../../Mis20documentos/Nueva20carpeta/INMEDIATAS_archivos/54-1-p-Inm1.gifMERGEFORMAT HYPERLINK http//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm11.gif INCLUDEPICTURE ../../../Mis20documentos/Nueva20carpeta/INMEDIATAS_archivos/54-1-p-Inm11.gif MERGEFORMAT HYPERLINK http//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm2.gif INCLUDEPICTURE ../../../Mis20documentos/Nueva20carpeta/INMEDIATAS_archivos/54-1-p-Inm2.gif MERGEFORMAT HYPERLINKhttp//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm4.gif INCLUDEPICTURE ../../../Mis20documentos/Nueva20carpeta/INMEDIATAS_archivos/54-1-p-Inm4.gif MERGEFORMAT HYPERLINK http//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm5.gif INCLUDEPICTURE ../../../Mis20documentos/Nueva20carpeta/INMEDIATAS_archivos/54-1-p-Inm5.gif MERGEFORMAT HYPERLINKhttp//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm6.gif INCLUDEPICTURE ../../../Mis20documentos/Nueva20carpeta/INMEDIATAS_archivos/54-1-p-Inm6.gif MERGEFORMAT HYPERLINK http//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm7.gif INCLUDEPICTURE ../../../Mis20documentos/Nueva20carpeta/INMEDIATAS_archivos/54-1-p-Inm7.gif MERGEFORMAT HYPERLINK http//thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm8.gif...