Integrales

APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Integrales Indefinidas
Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es de: 3x2-60x+400 dólares por unidad cuando se ha producido x unidades. El costo total deproducción de las dos primeras unidades es de $900. ¿Cuál es el costo total de producción de las cinco primeras unidades?

Solución
C´(x)= 3x2-60x+400, costo marginal
C´(x)= 3x2-60x+400) dx + k =x3-30x2+400x + k
C (2)= 900. Por enunciado del problema,
900 = 23 -30(2)2 + 400(2) + k K = 212
C(x) = x3-30x2+400x +212, costo total
Calculando el costo de la producción x = 5unidades
C (5) = (5)3-30(5)2+400(5) +212 = 125 – 750 + 2000 + 212 = 1587
El costo total por 5 unidades es: $ 1587.00

El beneficio marginal (ingreso marginal menos costo marginal) de una ciertacompañía es de: 100 – 2x dólares por unidad cuando el nivel de producción es de x unidades. Si el beneficio posible es de 700 dólares cuando se produce 10 unidades. ¿Cuál es el mayor beneficio posible de lacompañía?
Solución
R´(x) = 100 – 2x, beneficio marginal
R´(x) =100 – 2x) dx + c = 100x – x2 + c
Para calcular la constante de integración se tiene que para x = 10 unidades de producción se tiene R(10) = 700 de beneficio, 700 = 1000- 100 + c
c = -200
Luego R(x) = 100x – x2 – 200, beneficio total
El mayor beneficio se obtiene de la siguiente forma:
R(x) = 100x – x2 – 200 R (x) +200 = -(x2 – 100x),
R (x) + 200 – 2500 = -(x2 – 100x + 2500)
R (x) – 2300 = -(x - 50)2

Grafica
Beneficio (50, 2300)ProducciónEl mayor beneficio es de $ 2300.00

La gerencia ha determinado que la función de ingresos marginales diarios asociada con la producción y venta de sus cafeteras...