Integrales

INTEGRALES INDEFINIDAS.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.


PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA.

Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. Diremos que F es una función primitiva de f, o simplemente una primitiva de F, si F tiene por derivada f.

F es primitiva de f [pic]

En notación diferencial:

F es primitiva de f [pic]

EJEMPLOS:

• Si[pic] entonces puede ser [pic]
• Si [pic] entonces puede ser [pic]

La operación que permite obtener una primitiva F a partir de una función f recibe el nombre de INTEGRACIÓN. Si existe la función F se dice que la función f es integrable.

Una función puede tener varias primitivas, por ejemplo, la función [pic] podría tener como primitivas las funciones [pic] [pic] [pic]ya que
[pic]

Teniendo en cuenta esto, podríamos demostrar la siguiente

Proposición.

Sean f, F, G tres funciones definidas de D en [pic], tal que F y G son dos primitivas de f. Entonces, la función [pic] es otra función de D en [pic] y además es constante.

De otro modo:

Dos primitivas de una misma función se diferencian a lo sumo en una constante.


Enefecto, si F y G son primitivas de la misma función f, quiere decir que [pic] y [pic]

Restando, miembro a miembro, ambas igualdades, tendremos:

[pic]

[pic]

DEFINICIÓN.

Dada una función f, se llama integral indefinida de f al conjunto de sus infinitas primitivas [pic]

La integral indefinida se representa por [pic]


El símbolo[pic]se lee «integral de...» y [pic] se llama integrando. El número real K recibe el nombre de «constante de integración».


EJEMPLOS:


1. [pic] ya que la derivada del seno es el coseno.


2. [pic]


3. [pic]

La integral indefinida es una familia de funciones dependiente de un parámetro cuyas gráficas se obtienen por traslación de una primitiva.

Para ladeterminación de una primitiva es necesario conocer la constante de integración; para ello necesitamos alguna otra condición, como puede ser el valor que toma la función primitiva en un punto del dominio o un punto por el que pasa la gráfica de la función.


Ejemplo:


1. Halla una primitiva de la función [pic] cuya gráfica pasa por el punto P (1, 3). Las primitivas de f son de la forma[pic]


Puesto que la gráfica pasa por P(1,3), tendremos

[pic]

Por tanto, la primitiva pedida será [pic]

2. Hallar la ecuación de la primitiva de la función [pic] que pasa por el punto P(0, 4)

Las primitivas de f son de la forma [pic]

Puesto que la gráfica pasa por P(0,4), tendremos

[pic]

Por tanto, la primitiva buscada será [pic]

Siendo [pic]para cualquier primitiva [pic] se verificará que [pic] En consecuencia, la expresión [pic] es la diferencial de cualquier primitiva de f(x) y, por tanto, podemos escribir

[pic] en particular [pic]

o también: [pic]

Estas expresiones nos establecen que las operaciones “diferenciar” e “integrar” son operaciones inversas o recíprocas.
PROPIEDADES LINEALES DE LA INTEGRACIÓN.1. Integral de la suma o diferencia.

La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de la integrales de dichas funciones.

[pic]

Ejemplo:


[pic]

2. Integral del producto de un número real por una función.

La integral del producto de un número real por una función es igual al número real por la integral de la función.[pic]
Ejemplo:

[pic]


La utilización de estas dos propiedades constituye el método de descomposición: conviene descomponer lo más posible el integrando aplicando la propiedad distributiva, sustituyendo la expresión de la función por otra equivalente, sumando o restando una misma cantidad, multiplicando y dividiendo por un mismo número.

Ejemplos:

• [pic]...