Integrales

La Integración. Fórmulas fundamentales

II
LA INTEGRACIÓN. FÓRMULAS FUNDAMENTALES

La integración es la operación inversa a la derivación. El símbolo de integración es aunque en realidad no puede considerarse separado de la diferencial, o sea que en

∫ ∫

, la

∫ F (x) dx

función F(x) es lo que se integra y de alguna manera puede considerarse enmedio del símbolo y de la diferencialdx.

De tal manera que si y = f (x) es la función original, su derivada es la integral de esta última regresa a la función original, es decir

dy = F (x) ; entonces dx

∫ F (x) dx = f (x)
Por ejemplo, si la función original es y = x2 , su derivada es otra función de equis, en este caso, 2x. Por lo tanto, si se integra 2x se regresa a la función original x2:

∫ 2x dx = x

2

(a)

7La Integración. Fórmulas fundamentales

Sin embargo, si y = x2 + 2, su derivada es

dy = 2x dx
y, por lo tanto, su integral es la función original, esto es que

(la misma que de la función y = x2)

∫ 2 x dx = x

2

+2

(b)

Pero obsérvese que tanto (a) como (b) son la misma integral

∫ 2x dx

y sin embargo

tienen diferente resultado. Esto se debe a que cualquier funciónque termine en la suma de una constante, al derivarse dicha función se obtiene cero al final como resultado de la derivada de la constante final. Entonces al integrar debe agregarse siempre un término constante + C. Así aparecerán todas las fórmulas de integración. Una integral de una función F(x), visto de otra forma, es lo mismo que preguntarse: ¿La derivada de qué otra función da F(x)? Así, enlos ejemplos recientes, la integral

∫ 2x dx

equivale

a preguntarse ¿la derivada de qué da 2x? Y la respuesta es la derivada de x2; pero también de, por ejemplo, x2 + 2; o de x2 + 5; o de x2 + 23. En general, de x2 + C.

FÓRMULAS FUNDAMENTALES Son cinco las fórmulas fundamentales o más elementales de integración:
(1) (2)

∫ dx = x + c
xn + 1 ∫ x dx = n + 1 + c
n

, para n … - 18

La Integración. Fórmulas fundamentales

(3) (4) (5)

∫ c u dx = c ∫ u dx ∫ ( u + v + w + ...) dx = ∫ u dx + ∫ v dx + ∫ w dx + ...
∫
dx = ln x + c x

En donde:

c = constante. u, v, w, ... = funciones o variables.

La fórmula (2) funciona para todos los valores de n, excepto para cuando n = - 1, porque vuelve cero el denominador. Cuando n = - 1 se tiene la fórmula (5).

Ejemplo1: Solución:

Integrar

∫x

6

dx

Por la fórmula (2):
6 ∫ x dx =

x6 + 1 +c 6 +1

x7 ∫ x dx = 7 + c
6

COMPROBACIÓN: Una integral, por su propia definición, se comprueba derivando su resultado:

⎞ d ⎛ x7 d ⎛ x7 ⎞ d + c⎟ = c ⎜ ⎜ ⎟+ dx ⎝ 7 ⎠ dx ⎝ 7 ⎠ dx

9

La Integración. Fórmulas fundamentales

=
=

1 ⎛ d 7⎞ x ⎟+0 ⎜ 7 ⎝ dx ⎠
1 (7x6 ) 7

= x6
que es lo que seintegró.

Ejemplo 2: Solución:

Integrar

∫ 24x dx
2

Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

∫ 24 x

2

dx = 24 ∫ x 2 dx

Ahora empleando la fórmula (2):

⎡ x2 + 1 ⎤ = 24 ⎢ ⎥+c ⎣ 2 +1 ⎦ = 24 x 3 +c 3

∫ 24 x
COMPROBACIÓN:

2

dx = 8 x 3 + c

Derivando el resultado de esta integral:

d d d ( 8x 3 + c ) = dx 8 x 3 + dx c dx

10

LaIntegración. Fórmulas fundamentales

= 24x 2 que es lo que se integró.

Ejemplo 3: Solución:

Integrar

∫ 7x

9

dx

Por la fórmula (3), la constante se echa para afuera de la integral:

∫ 7 x dx = 7 ∫ x dx
9 9

Ahora empleando la fórmula (2):

⎡ x9 + 1 ⎤ 7 ∫ x dx = 7 ⎢ ⎥+c ⎣ 9 +1 ⎦
9

9 ∫ 7 x dx =

7 x10 +c 10

Ejemplo 4: Solución

Integrar

∫ (6x

2

+ 8 x − 9 )dxEmpleando primeramente la fórmula (4) de la suma:

∫ (6x

2

+ 8 x − 9 )dx = ∫ 6 x 2 dx + ∫ 8 xdx − ∫ 9dx

Para cada una de las tres integrales pendientes se utiliza la fórmula (3), donde la constante se echa para afuera de la integral:

∫ 6 x dx + ∫ 8 xdx − ∫ 9dx = 6∫ x dx + 8∫ xdx − 9∫
2 2

dx

Ahora, para las dos primeras integrales debe usarse la fórmula (2) y para la...