Integrales

INTEGRALES
Introducción.-
La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, en la derivación se trata
de hallar la función derivada de una función f, esto es, hallar f ´,mientras que en la integración
se trata de que dada una función f, debemos determinar otra (escribimos F) tal que su derivada
sea f, esto es, F ´= f.
El proceso de integración (o calcular unaintegral) es, generalmente, más complicado que
el de derivación. En el presente tema veremos diversas técnicas o métodos de integración, es
decir, métodos que nos permitirán resolver el siguienteproblema: “dada una función f, hallar
otra función F cuya derivada sea f “.
2.Primitivas de una función.-
Una función F es una primitiva de otra función f, si la derivada de F es f.
Ejemplo1.-
La función F (x) = x3 es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que F ´(x) = 3x2 = f (x).
La función F1 (x) = x3 + 5 también es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que
derivando,F1´(x) = 3x2 = f (x).
La función F2 (x) = x3 & 0´8 también es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que
derivando, F2´(x) = 3x2 = f (x).
En realidad, cualquier función de la forma F (x)= x3 + C , siendo C un número real
cualquiera, es una primitiva de la función f (x) = 3x2.
De lo anterior deducimos que la función f (x) = 3x2 tiene infinitas funciones primitivas.
En general,podemos asegurar que si una función f (x) tiene una primitiva F(x), entonces
tiene infinitas, ya que la función Φ(x) = F(x) + C con C 0ú también es una primitiva de f (x).
En efecto:
[ ]
F xprimitiva de f x F x f x
x F x C F x f x x es una primitiva de f x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⇒ ′ =
Φ ′ = + ′ = ′ = ⇒ Φ
La expresión F(x) + C representa al conjunto de lainfinitas funciones primitivas de f (x).
Para cada valor de C (número real), obtenemos una primitiva en concreto. Si conocemos una
primitiva, tenemos determinadas todas, ya que difieren en una...