Integrales

Universidad de Concepci´n. o
´ Departamento de ingenier´ matematica. ıa

´ ´ Calculo (521287) / Matematica III (521296) Bioqu´ ımica / Lic en qu´ ımica

Listado 5: Integrales de funciones devarias variables.

1. Evaluar las siguientes integrales iteradas. Luego evaluar las integrales a) y b) cambiando el orden de integraci´n. o a) d) f)
π/2 1 0 0 (y cos (x) 1 x2 0 0

+ 2)dy dx

b) e)g)

1 π 0 1 (π

+ 2xy)dy dx + y)dy dx

dy dx

1 ex 0 0 (x

0 3 2x −3 −1 (x2 +y 2 )2 dx dy

2 2 1 1 1 x dy dx

2. Usando coordenadas cartesianas determinar: a) b) c)
R xy 2 d(x, y),donde R = {(x, y) ∈ R2 : −3 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. √ x y y = x3 .

D (4xy

− y 3 ) dA, donde D es la regi´n entre y = o

D

yx3 − y 2 d(x, y), donde D es el tri´ngulo con v´rtices (0, 3), (1, 1)y (5, 3). a e

d ) El volumen acotado por la gr´fica f (x, y) = 1 + 2x + 3y, el rect´ngulo [1, 2] × [0, 1] y a a los cuatro lados verticales del rect´ngulo. a e) f) g) h)
S (2

√

x − 3y 2 )dxdy, en el conjunto S={(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ donde R es el rect´ngulo [0, 2] × [−1, 0]. a

√ 4

x}.

1 R (|y| cos ( 4 πx)) dy dx, xy R ye ,

si R = [0, 1] × [0, 1]. √ x y y = x3 .D

yexy , donde D es la regi´n entre y = o

i ) Integrar sobre D la funci´n f (x, y) = x2 + 2xy 2 + 2, donde D es la regi´n acotada por o o 2 + x, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2. la gr´ficade y = −x a 3. Eval´e y dibuje las gr´ficas de las regiones D determinadas por los l´ u a ımites. a) c) e)
2 3x+1 dy dx 1 2x 2 y 3 x/y dx dy 1 y e |x| 1 x+y −1 −2|x| e

b) d)

|x| 1 x+y −1 −2|x| e3 9 0 x2
3

dy dx

x3 ey dy dx

dy dx

4. Usar integrales dobles para calcular el ´rea de un c´ a ırculo de radio r.

5. Calcule las siguientes integrales. ¿Qu´ ocurre si cambia el ordende integraci´n?. e o 4 2 8 2 √ 4 3 9 3 y3 x2 dx dy √ a) b) c) 0 y/2 e 0 3 y x + 1dx dy 0 x2 x e dy dx 6. Hacer la integraci´n indicada sobre cada caja. o a) b)
−xy dx dy dz, B = [0, 1] × B ye 1 2 3...