Integrales

Esther Gil Cid

Curso 0 Matem´ticas a

Integrales

Prof. Esther Gil Cid Departamento de Matem´tica Aplicada I a ETSI Industriales

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´ Indice general
1. 2. 3.

4.

Introducci´n y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . o Prueba de autodiagn´stico . . . . . . . . . . . . . . o Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1. Ficha 1: Primitiva de una funci´n . . . . . o 3.2. Ficha 2: Integrales inmediatas . . . . . . . . 3.3. Ficha 3: Algunos m´todos de integraci´n e o 3.4. Ficha 4: Integrales definidas . . . . . . . . . Prueba de autoevaluaci´n . . . . . . . . . . . . . . o Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa ´ Indice alfab´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

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4 5 7 7 13 24 43 57 58 60

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1.

Introducci´n y objetivos o

Las integrales permiten calcular el ´rea de figuras planas. a Este problema surgi´ en tiempos remotos: los griegos llegaron o a f´rmulas para encontrar el area de pol´ o ´ ıgonos, del c´ ırculo o de segmentos de par´bolas.Pero el m´todo que empleaban se a e basaba en aproximar la figura cuya ´rea se quer´ calcular por a ıa pol´ ıgonos de ´reas conocidas. A partir de este principio, en el a s. XVII, Newton y Leibnitz introdujeron el concepto de integral definida de una funci´n f en un intervalo. o Los contenidos de este tema son necesarios para el primer curso de cualquier Ingenier´ o carrera de ciencias. ıa Lasintegrales est´n muy relacionadas con las derivadas, ya a que la integraci´n es la operaci´n rec´ o o ıproca de la derivaci´n, si o trabajamos con integrales indefinidas. Objetivos Poder resolver integrales inmediatas. Detectar qu´ t´cnica hay que aplicar para integrar una fune e ci´n. o Poder resolver integrales sencillas no inmediatas. Entender el significado geom´trico de la integral definida. e Podercalcular algunas areas mediante integrales. ´

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2.

Prueba de autodiagn´stico o

Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientos que tiene en este tema. Una primitiva de f (x) = 3x es x + 3 Se cumple que 2 2 xdx cos xdx Una primitiva de
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3

Verdadero Falso Verdadero Falso = Verdadero Falso Verdadero Falso

2x cos2 xdx1 sen 2 x cos xdx es 3 sen 3 x 7 4
4

(x + 1)7 dx =
3 4

(x + 1)11 + k
5

4x + 3

x + 3x

dx =

1 6

x + 3x

4

6

Verdadero Falso +k Verdadero Falso Verdadero Falso

Al integrar por partes, es indiferente c´mo se o eligan las partes 1 La integral dx se resuelve me1 + (x + 4)2 diante el cambio de variable t = (x + 4)2 x+1 La integral de 3 2 dx es la suma x +x−2 1 2 dx +dx x+2 x−1 La integral definida no est´ relacionada con la a integral indefinida
4 1 1 x2 dx = 3

Verdadero Falso

Verdadero Falso Verdadero Falso

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Si ha tenido muchas dificultades y el n´mero de respuestas u correctas no le parece aceptable, debe hacer de forma ordenada todas las fichas que encontrar´ a continuaci´n. a o Si s´lo ha tenidodificultades en algunos casos, localice las o fichas correspondientes y rep´selas. Si ha respondido todo coa rrectamente puede pasar a otro bloque.

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3.
3.1.

Contenidos Ficha 1: Primitiva de una funci´n o

o Integrar Integrar es la operaci´n inversa de derivar, del mismo modo que obtener la ra´ cuadrada es la operaci´n inversa a elevar ız o alcuadrado. Dada una funci´n f (derivada), integrar consiste en calcular o una funci´n F que al derivarla produce f . o Primitiva Si f es una funci´n definida en el intervalo (a, b) y existe o una funci´n F que verifica o F (x) = f (x) , F se llama primitiva o integral indefinida de f Notaci´n Para referirnos a la integral de f se utiliza la siguiente noo taci´n o f (x) dx, donde f (x) es el integrando, x...