Integrales
Páginas: 4 (898 palabras)
Publicado: 7 de enero de 2013
Integrales de la forma
∫
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
k
IV
INTEGRALES DE LA FORMA
∫ (± u
2
± a
2
)
k 2
dx , con k = ± 1, - 2
En este capítulo se verán nueve fórmulas más,las cuales pueden enunciarse de manera no formal con el siguiente texto: Son las fórmulas de todas las posibles combinaciones de u2 y a2, sumadas o restadas, con raíz cuadrada o sin ella, en elnumerador o en el denominador. a) Sumadas o restadas: Según se tome el signo positivo o negativo del ± que aparece en la forma delante de u y de a. b) Con raíz cuadrada: Si k = ± 1, ya que el exponentetoma el valor de ½ o de - ½, o sin raíz cuadrada si k = - 2. c) En el numerador o en el denominador: Si k es positivo el exponente es positivo y la expresión está en el numerador; si k es negativo elexponente es negativo y la expresión está en el denominador. Las nueve fórmulas son: I) Con raíz cuadrada en el numerador:
29
Integrales de la forma
∫
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
k
(8)
∫ ∫∫
u u + a du = 2
2 2
a2 u +a + ln u + 2
2 2 2 2
(
u 2 + a2
)+c
(9)
u u − a du = 2
2 2
a2 u −a − ln u + u 2 − a 2 + c 2 a2 − u2 + a2 u arc sen + c a 2
(
)
(10)
a2 − u 2 du =
u 2
II) Sin raíz cuadrada en el denominador:
(11)
∫
du 1 u = arc tan + c 2 u +a a a
2
(12)
∫ ∫
⎛ u−a ⎞ du 1 = ln ⎜ ⎟+c 2 u −a 2a ⎝ u + a ⎠
2
(13)
⎛ a+u ⎞du 1 = ln ⎜ ⎟+c 2 a −u 2a ⎝ a − u ⎠
2
III) Con raíz cuadrada en el denominador:
(14)
∫ ∫
du u +a
2 2
= ln u +
(
u2 + a2
)+c )+c
(15)
du u −a
2 2
= ln u +
(
u2 − a2
30
Integrales de la forma
∫
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
k
(16)
∫
∫
du a2 − u 2
= arc sen
u +c a
Ejemplo 1: Integrar Solución: Sean
9 x 2 + 25 dx
a2 = 25 u2 = 9x2u = 3x du = 3dx a=5 por lo que
No olvidar que en el uso de cualquier fórmula debe hacerse cambio de variable. En este caso, si se va a utilizar la fórmula (8) , ésta pide, además del radical, la...
∫
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
k
IV
INTEGRALES DE LA FORMA
∫ (± u
2
± a
2
)
k 2
dx , con k = ± 1, - 2
En este capítulo se verán nueve fórmulas más,las cuales pueden enunciarse de manera no formal con el siguiente texto: Son las fórmulas de todas las posibles combinaciones de u2 y a2, sumadas o restadas, con raíz cuadrada o sin ella, en elnumerador o en el denominador. a) Sumadas o restadas: Según se tome el signo positivo o negativo del ± que aparece en la forma delante de u y de a. b) Con raíz cuadrada: Si k = ± 1, ya que el exponentetoma el valor de ½ o de - ½, o sin raíz cuadrada si k = - 2. c) En el numerador o en el denominador: Si k es positivo el exponente es positivo y la expresión está en el numerador; si k es negativo elexponente es negativo y la expresión está en el denominador. Las nueve fórmulas son: I) Con raíz cuadrada en el numerador:
29
Integrales de la forma
∫
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
k
(8)
∫ ∫∫
u u + a du = 2
2 2
a2 u +a + ln u + 2
2 2 2 2
(
u 2 + a2
)+c
(9)
u u − a du = 2
2 2
a2 u −a − ln u + u 2 − a 2 + c 2 a2 − u2 + a2 u arc sen + c a 2
(
)
(10)
a2 − u 2 du =
u 2
II) Sin raíz cuadrada en el denominador:
(11)
∫
du 1 u = arc tan + c 2 u +a a a
2
(12)
∫ ∫
⎛ u−a ⎞ du 1 = ln ⎜ ⎟+c 2 u −a 2a ⎝ u + a ⎠
2
(13)
⎛ a+u ⎞du 1 = ln ⎜ ⎟+c 2 a −u 2a ⎝ a − u ⎠
2
III) Con raíz cuadrada en el denominador:
(14)
∫ ∫
du u +a
2 2
= ln u +
(
u2 + a2
)+c )+c
(15)
du u −a
2 2
= ln u +
(
u2 − a2
30
Integrales de la forma
∫
( ± u 2 ± a 2 ) 2 dx
k
(16)
∫
∫
du a2 − u 2
= arc sen
u +c a
Ejemplo 1: Integrar Solución: Sean
9 x 2 + 25 dx
a2 = 25 u2 = 9x2u = 3x du = 3dx a=5 por lo que
No olvidar que en el uso de cualquier fórmula debe hacerse cambio de variable. En este caso, si se va a utilizar la fórmula (8) , ésta pide, además del radical, la...
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