Integrales

Desarrollo
Tema 5.1 Integrales Dobles Iteradas

Recordar que por lo común es difícil evaluar integrales simples directamente de la definición de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de primeros principios es incluso más difícil. Normalmente, el primer paso en la evaluación de una integral dobleconsiste en reescribirla como una integral iterada para comprender el proceso. En resumen, la integral doble normalmente se utiliza para encontrar el volumen de un sólido encontrando ciertos puntos de intersección para así poder integrarla después.
Subtema 5.1.1 Dominios Rectangulares
Si queremos computar la doble integral de sobre el dominio donde es un rectángulo con y . Usando la definiciónde la integral doble, podríamos estimar la integral:

con sumas de Riemann. Cortamos el dominio de en pequeños rectángulos. Si elegimos el mismo para cada rectángulo en la fila y el mismo para cada rectángulo en la columna , la suma de Riemann para la integral es:

Para cada fila en podemos sumar todas las columnas en . Si ignoramos por un momento, la suma de todas las columnas ensería:

Si reducimos para que sea cero (y el número de columnas aumentan correspondientemente a infinito), entonces ésta es exactamente la suma de Riemann para la integral de una dimensión, donde integramos desde hasta

Tenemos un valor distinto de la integral para cada correspondiente a la suma de la fila . Si lo multiplicamos por un y sumamos todas las filas de (como es necesariopara tener toda la sumatoria de ecuaciones de Riemann), obtenemos otra sumatoria de Riemann de una dimensión:

Si reducimos para que sea cero (y el número de filas aumentan correspondientemente a infinito), entonces la suma de Riemann se convierte en otra integral de una dimensión, donde integramos desde hasta

Este proceso fue equivalente a sumar todos los rectángulos, luego reducir ya cero. De esta manera obtuvimos otra expresión para la integral doble:

Llamamos a ésta una Integral Iterada, porque simplemente iteramos la integración de una variable, dos veces.
Subtema 5.1.2 Teorema de Fubini
Si es continua en el rectángulo , entonces:

En términos generales, esto es cierto si se supone que está acotada en , es discontinua sólo en un numero finito de curvasuniformes y existen integrales iteradas.
Ejemplo # 1
• Suponer que es una función continua no negativa en la región R del plano cuyo contorno está formado por los arcos de 2 curvas e que se cortan en los puntos K y L indicados en la figura. Se trata de hallar el volumen "V" limitado por ésta superficie.

5.2 Definición de integral doble áreas y volúmenes

Dada una region R, no existe unaregla general para predecir cual es el orden de integracion adecuado, si el orden elegido no funciona, se debe tratar con el otro. En ocasiones, la integral se puede realizar como una
región vertical o como una región horizontal con los los mites adecuados.
Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitadasuperiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,
F(x,y)= 1, o
F(x,y)= y,

Cuandose trate de calcular el área,
o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA (1)
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx (2)
algunas de las cuales yacen por completo en la...