Integrales

Integrales
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas,diferenciándose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integrales Trigonométricas

Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.
Caso 1:
Integrales de la forma




Identidad trigonométrica
 cos2 x + sen2 x =1
Integral definida
Dada una función f(x) de una variable real xy un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de lafunción que se integra.


Propiedades de la integrales definidas
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida valecero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c,b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:

que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hacereferencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].
La derivada de la función integral de lafunción continua f(x) es la propia f(x).
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.
Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial eintegral.
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplos
Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

















Calculamos la integral definida por cambio de variable.Hallamos los nuevos límites de integración.



Integramos por partes.




También se puede hacer sin transformar los límites de integración y volviendo a la variable inicial.



El teorema de la media o teorema del valor medio para integrales dice que:
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:




Ejemplos

1. Hallar el valor dec, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.



La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

Como la función es continua en [0, 1],...