integrales

Fundamentos Matem´
aticos de la Ingenier´ıa. (Tema 7) Hoja

1

Escuela T´
ecnica Superior de Ingenier´ıa Civil e Industrial (Esp. en Hidrolog´ıa)

Fundamentos Matem´
aticos de la Ingenier´ıa.
Tema 7: C´
alculo integral de una variable.

1

Curso 2008-09

Integrales indefinidas. Primitiva de una funci´
on

Sea f una funci´on definida sobre un intervalo I ⊂ R. Una primitiva o antiderivada de f en Ies una funci´on,
F , continua en I, que verifica:
F (x) = f (x)

para todo x en el interior de I

Ejemplo: una primitiva de f (x) = cos x es F (x) = sen x
Si F (x) es una primitiva de f (x), entonces F (x) + C es tambi´en una primitiva de f (x), siendo C un n´
umero
real cualquiera.
1
Ejemplo: una primitiva de f (x) =
es F (x) = ln x, luego F (x) = ln x + C tambi´en es una primitiva de
x
f (x)para cual quier C ∈ R.
El conjunto formado por todas las primitivas de f (x) se denomina integral indefinada de f (x), y se designa
por
f (x) dx
Ejemplo:

1.1

1
dx = arctag x + C
1 + x2

Tabla de integrales inmediatas

En la siguiente tabla C representa una constante arbitraria.
1.
3.
5.
7.
9.

sec2 x dx =

cosec2 x dx =
11.

dx = x + C

xn dx =

2.

dx
= ln|x| + C
x

1
dx =
cos2 x
1
dx =
sen2 x
axdx =

ax
ln a

(1 + tg 2 x) dx = tg x + C
(1 + cotg 2 x) dx = −cotg x + C
(a = 1), (a > 0)

ex dx = ex + C

4.

sen x dx = −cos x + C

6.
8.
10.

xn+1
+ C (n = −1)
n+1

cos x dx = sen x + C

a2
√

dx
1
x
= arctg + C
2
+x
a
a

dx
x
= arcsen + C
a
a2 − x2

Fundamentos Matem´
aticos de la Ingenier´ıa. (Tema 7) Hoja

1.2

2

Reglas operacionales. Integrales inmediatas

Si f (x) y g(x) son funcionespara las que existen primitivas sobre I, entonces se verifica que:
1.

[f (x) ± g(x)]dx =

2.

kf (x) dx = k

f (x) dx ±

g(x) dx

f (x) dx

Estas reglas, la tabla de integrales inmediatas y la operatoria b´asica, permiten calcular integrales que a priori
paracen m´as complicadas.
Ejemplos:
(a)

(3x4 − 5x2 + x)dx = 3

x4 dx − 5

(b)

x+1
√ dx =
x

1
√ dx =
x

1.3
1.3.1

x
√ dx +
x

x2 dx +

x dx =3

x3
x2
x5
−5 +
+C
5
3
2
3

− 12

1
2

x dx +

x

dx =

x2
3
2

1

+

x2
1
2

=

2√
x(x + 3) + C
3

M´
etodos de integraci´
on
Integraci´
on por cambio de variable

A veces una integral puede transformarse en otra m´as sencilla haciendo un cambio de variable. Ello puede
hacerse de dos maneras:
1. Hacer x = g(t) siendo g una funci´on derivable, con inversa derivable, en el intervalo en el que setrabaja.
Al hacer el cambio debe sustituirse dx por g (t)dt, con lo que nos quedar´a
f (x) dx =

f (g(t))g (t)dt = F (t) + C = F (g −1 (x)) + C

x
dx si efectuamos el cambio de variable x = sen t, hemos de sustituir dx por
1 − x2
cos t dt, con lo que obtenemos

Ejemplo: I =

I=

√

√

sen t
cos t dt =
1 − sen2 t

sen t
cos t dt =
cos t

sen t dt = −cos t + C = −cos(arcsen x) + C

2. Hacer t = h(x)siendo h una funci´on derivable con inversa derivable. Normalmente se elige una funci´on
h(x) que o bien aparece en el integrando, o bien est´a en el mismo la expresi´on h (x)dx.
x
√
Ejemplo: I =
dx si efectuamos el cambio de variable 1 − x2 = t, hemos de sustituir xdx por
1 − x2
dt
− , con lo que obtenemos
2
I=

1
dt
1
√ (− ) = −
2
2
t

1

1

t− 2 dt = −t 2 + C = −

1 − x2 + C

Es evidente queel segundo cambio de variable es m´as intuitivo, pero no deja de ser curioso el haber obtenido
dos resultados, aparentemente, tan diferentes. Se propone al alumno que compruebe que en realidad es el mismo
resultado en los dos casos.

Fundamentos Matem´
aticos de la Ingenier´ıa. (Tema 7) Hoja

1.3.2

3

Integraci´
on por partes

Este m´etodo se basa en la f´ormula
u dv = u v −

v du

que puedededucirse a partir de la regla de derivaci´on de un producto. La elecci´on de qu´e parte del integrando
debe ser u y cu´al dv depende de m´
ultiples factores, lo que impide dar una regla general. No obstante los casos
m´as frecuentes son los siguientes:
• I=

x ln x dx.

Para la elecci´on de u debemos pensar en la parte del integrando que sea m´as f´acil de derivar (en este caso
tanto x como ln x...