integrales

C´alculo para la ingenier´ıa
Salvador Vera
16 de diciembre de 2003

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Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2003.

´Indice general
4. Integral definida. C´
alculo de primitivas
4.1. La estimaci´
on de un ´
area. Sumas de Riemann. . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Significado geom´etrico de la integral . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. C´
alculo de l´ımites utilizando el concepto deintegral . . . . .
4.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. El teorema fundamental del C´
alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . . . . .
4.3. Integraci´
on inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2.Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Integraci´
on mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Integraci´
on por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Integraci´
on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Integraci´
on de fracciones elementales . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Integraci´
onde funciones racionales con ayuda del desarrollo
en fracciones simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Integraci´
on de expresiones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1. Integraci´
on de potencias de funciones trigonom´etricas . . . .
4.7.2. Integraci´
on de funciones racionales del sen y del cos . . . . .
4.8. Integraci´
on de funciones irracionales . . . . . .. . . . . . . . . . . .
4.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2. La sustituci´
on trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
1
6
12
15
19
23
23
24
25
28
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5. Aplicaciones de la integral.
5.1. C´
alculo del ´
area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. C´
alculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . ..
5.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´etodo de secciones . .
5.2.2. Volumen de un s´
olido de revoluci´
on: M´etodo de discos . . .
5.2.3. Volumen de un s´
olido de revoluci´
on: M´etodo de los cilindros
5.3. L´ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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52
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Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2003.

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40
42
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iv

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 5

Aplicaciones de la integral.
5.1.

C´
alculo del ´
area de una figura plana.

En general, para calcular el ´area de una regi´on plana:
1.

La dividimos en franjas, infinitamente estrechas, de manera horizontal
o vertical,

2.

Suponemos que las franjas son rect´angulos, con lo cual su ´area se
obtendr´a como el producto de la base por la altura (la baseser´a el
diferencial correspondiente dx o dy), es decir,
da = h dx, o bien, da = h dy.

3.

Calculamos el ´area total como la suma de las ´areas de los infinitos
rect´angulos:
b

A=

da
a

Los l´ımites de integraci´on se determinan estudiando el recorrido del
diferencial correspondiente.
Si las curvas se cortan dentro del intervalo de integraci´on, entonces habr´a que
descomponer la integral endichos puntos y calcular las ´areas por separado.
En particular,
´
Proposici´
on 5.1 (Area
bajo una curva). El ´
area del trapecio curvil´ıneo
limitado por la curva y = f (x), siendo f (x) ≥ 0, por las rectas verticales
x = a y x = b y por el segmento [a, b] del eje Ox viene definido por la
integral,
b

A=

f (x) dx
a

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CAP´ITULO 5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

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´
entre dos curvas). El ´
areade la regi´
on limitada
Proposici´
on 5.2 (Area
por las curvas y = f1 (x) e y = f2 (x), siendo f1 (x) ≤ f2 (x), y por las rectas
x = a y x = b viene definida por la integral,
b

f2 (x) − f1 (x) dx
a

Ejemplo 5.1. Hallar el a
´rea de la regi´
on comprendida entre la par´
abola
x = y 2 + 1 y la recta x = 3
Soluci´
on. En primer lugar localizamos el recinto. Podemos utilizar la funci´on
tal como...