integrales1

Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.

INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES

La integral de Riemann-Stieltjes es una extensión del concepto de Integral de Riemann que
permite ampliar el potencial de esta herramienta. A diferencia de la integral de Riemann, que
depende de una sola función f(x) llamada integrando, la integral de Riemann-Stieltjes depende
de dos funciones,el integrando f(x) y una función α(x) llamada integrador. Para la integral de
b

Riemann-Stieltjes se utiliza el siguiente símbolo:

 f ( x ) d (x) .
a

Definición formal de la integral de Riemann-Stieltjes

Sea P={x0, x1 ... xn} una partición de un intervalo [a, b] (con a = x0 < x1 < ... < xn = b).
n

Llamamos suma de Riemann-Stieltjes a una suma de la forma

 f (t

k

)( ( xk )  ( xk 1 )) , con

k 1

Simbolizamos esta suma como S(P, f, α). Decimos que f es RiemannStieltjes integrable respecto a α en el intervalo [a, b] si existe un número I tal que, para todo
número real positivo ε existe una partición Pε que cumple con que para toda partición P más fina
que Pε y para cualquier elección de los tk, tenemos |S(P, f, α) - I| < ε. La conexión entre laintegral de Riemann "estándar" y la integral de Riemann-Stieltjes se produce cuando la función
integradora α(x) es la función identidad, es decir, α(x) = x.

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Doctorando en Educación Matemática.

Para definir la integral de Riemann utilizamos la norma de una partición, esta definición se puede
ampliar a que sea parecida a la de Riemann-Stieltjes, (que de hecho estaes la definición que
originalmente propuso Stieltjes, y que luego Pollard, propondría la que actualmente usamos: Una
función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es integrable con respecto a α en
[a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo número real positivo ε existe una δ
positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P, f, α) escualquier suma de
Riemann-Stieltjes entonces |S(P, f, α) - I| < ε.

El problema con esta definición es que no nos permite derivar todas las propiedades que nos
gustaría, específicamente existen funciones que son integrables con respecto a otra función en
los intervalos [a,c] y [c,b], pero que no lo son en [a,b], un ejemplo de tales funciones es el
siguiente:

Sean f y α las siguientes funciones:Para estas dos funciones sucede lo que se comenta arriba. El problema radica en que los puntos
de la partición no los podemos elegir nosotros cuando se utiliza la definición de la integral.

Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes



Es lineal respecto al integrando y al integrador, es decir, se cumple que:
b

b

b

 c1 f ( x )  c2 g( x ) d  (x)  c1  f(x) d (x) c 2  g(x) d (x)
a

a

b


a

b

f(x) d(c1 ( x )  c2  (x))  c1


a

a
b

f(x) d (x)  c 2

 f(x) d (x)
a

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Doctorando en Educación Matemática.



Al igual que las integrales de Riemann, una integral en un intervalo [a, b] puede separarse
en la suma de dos integrales en los intervalos [a, c] y [c, b], con a < c < b:
b

c

b f(x) d  (x)   f(x) d (x)   g(x)d(x)
a



a

c

Existe la propiedad de integración por partes: Si f es integrable respecto a α, entonces α
es integrable respecto a f y entre ambas integrales existe la siguiente relación:
b

b

 f(x) d  (x)    (x) d f(x)  f(b) (b) - f(a)(a)
a

a

.
Nótese que ésta propiedad coincide con la fórmula de integración por partespara integrales de
Riemann si el integrador α(x) tiene derivada continua α'(x), caso en el que se puede convertir la
integral de Riemann-Stieltjes en la integral de Riemann del producto f(x)α'(x).

Transformaciones a una integral de Riemann-Stieltjes

En las integrales de Riemann-Stieltjes, al igual que en las integrales de Riemann, existe la
propiedad del cambio de variable. En este caso...