Integrales1
Dada una función cualquiera ( ) definida en un intervalo cerrado [ , ], se llama función
primitiva de ( ) a otra función ( ) cuya derivada sea ( ) en dicho intervalo. Es decir, ′ ( ) =
( ) para todo x de [ , ].
Así:
La función
( ) es una primitiva de
,
( ) = cos( ).
( ) puesto que
La función ln | | es una primitiva de , ya que (ln| |) = .
PROPIEDADES DE LASPRIMITIVAS. DE UNA FUNCION
Primera propiedad.
Si ( ) es una primitiva de
número), la función ( ) + es otra primitiva de ( ).
( ) y
una constante cualquiera (un
Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de
las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
( ( ) + )′ = ′ ( ) + ′ = ( ) + 0 = ( )
Segunda propiedad. Siuna función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si ( ) es una primitiva de ( ), para cualquier constante , ( ) + es otra primitiva según la
anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a .
Tercera propiedad. Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto
es, si ( ) !( ) son primitivas de la función ( ),entonces ( ) − !( ) = = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función ( ) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero
en todos los puntos, entonces la función ( ) es constante. Es decir, si ( ) = 0, entonces
( )= .
Pues bien, si ( ) es una primitiva de ( ), ′( ) = ( );
si !( ) es otra primitiva de ( ), !′( ) = ( ).
Restando miembro a miembro,
deduce que ( ) − !( ) = .
′( ) −!′( ) = ( ( ) − !( ))′ = ( ) − ( ) = 0, de donde se
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCION
Se llama integral indefinida de una función ( ), al conjunto de todas las primitivas de la función
( ), y se simboliza
$ ( )%
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si ( ) es una primitiva de ( ),
$ ( )% = ( ) +
donde
representauna constante llamada constante de integración.
A modo de ejemplo:
1. Calcular & cos( ) %
Resolución:
• Puesto que una primitiva de cos(
2. Encontrar & %
(
Resolución:
• Una primitiva de
Por consiguiente,
) es sen( ),
$ cos( ) % =
( )+
es ln | |
1
$ % = ln| | +
x
3. Encontrar & x + %
Resolución:
• Por ser
,
-
+
una primitiva de
tenemos que
$ x+% =
-
3
+
INTEGRALES INMEDIATAS
Dela derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas
inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras
integrales menos sencillas.
1. & f ′(x)% = ( ) +
y &% =
+
y viceversa %|& f(x)% | = ( ) . Integración y derivación son operaciones inversas.
0
2. &
% =
123
04
+
si m ≠ –1
3. & % = ln | | +
(
56
4. &(
% = 78 5 +
5. &
(
% =
Siendo a > 0 y a ≠ –1
+
6. & sen(x)% = −cos( ) +
7. & cos(x)% = sen( ) +
8. & tan(x)% = &
;<8( )
=>?( )
9. & cotg(x)% = &
% = −ln |cos( )| +
AB;( )
?CD( )
% = ln |sen( )| +
10. &
=>?E ( )
% =&
11. &
?CDE ( )
% =&
( )∙
13. &
15. &
16. &
)% = tan(x) +
+(
)% = − cotg(x) +
( ) ∙ tan( )% = sec(x) +
12. &
14. &
+(
G
√ I(E
G
4(E
G
= J sen(x) +
=J tan(x) +
∙√(E I
G
tg( )% = − cosec(x) +
= J sec(x) +
= − J cos(x) +
= − J cotg(x) +
= − J cosec (x) +
4
= lnK + √
+
+ 1K +
18. &
√(E I
= lnK + √
+
− 1K +
19. &
(E I
17. & √(E
20. &
G
G
= ln L
I
L+
G
= ln L
4
L+
I(E
+
+
4
I
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
1. Integración por descomposición
Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:
•Primera propiedad de las integrales
La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma
(respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.
Esto es,
$[f(x) + g(x)]% = $ ( )% + $ M( )%
$[f(x) − g(x)]% = $ ( )% − $ M( )%
• Segunda propiedad de las integrales
La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la...
Regístrate para leer el documento completo.