Integralimpropia

Integral Impropia
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento denuestroconcepto de área bajo la curva.
es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:
1.- a = - o b = a = - y b = 
2.- no es acotada en alguno de los puntos de dichos puntos se llaman singularidades de 
Algunos ejemplos resueltos:

La integral converge a 1.
-------------------------------------------------
Integral impropia
En cálculo, una integral impropia es el límite deuna integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas situaciones.
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que lasintegrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral

puede interpretarse como:

pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera,ya que puede interpretarse como unaintegral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por-------------------------------------------------
Límites infinitos de integración
Las integrales impropias más básicas son integrales como:

Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de computar esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia,i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitivade la función que está siendo integrada es arctan x. La integral es

por lo que el area bajo la curva nunca puede ser definida de forma verdadera.

NTEGRALES IMPROPIAS TIPO 2 (INTEGRANDOS DISCONTINUOS)

Puede que la función presente cierta discontinuidad encierta parte de la función aunque esta este acotada. La discontinuidad se puede presentar si la función es continua en (a,b) y discontinua en el punto b, en este caso la asíntota en el punto b es vertical y tiende a hacerse infinito; también puede que la función sea continua en (a,b) y discontinua en el punto a, siendo esta asuntota de forma vertical y con tendencia a convertirse en infinita;también existe el caso en el cual la función tiene una discontinuidad entre (a,b), llamándose a este punto c el cual debe ser [pic].   En estos casos también se sustituye por t el punto en que ocurre la discontinuidad.

ÁLCULO DEL ÁREA LIMITADA POR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE X |
En el punto anterior hemos visto el signo de la integral, por tanto si lo que se quiere es calcular el área seprocederá así:1. Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b] , el área = 
2. Si  f(x)<0  en el intervalo [a,b] , el área =|| 
3. Si  f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , el intervalo se parte en dos (o más) mitades: [a,c] donde f(x)>0 y [c,b] donde f(x)<0 .Como la integral definida entre a, b es igual a la suma de la integral definida entre a, c más la integral definida entre c, ...