inteligencia artificial
Páginas: 12 (2968 palabras)
Publicado: 25 de mayo de 2013
Introducción
En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores.
Se establece la relación entre el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores.
El resultado clave indica que es equivalente buscarla solución a un sistema de ecuaciones lineales que determinar los valores de los coeficientes que multiplicando cada una de las columnas de la matriz de coeficientes y sumando los vectores resultantes da como resultado el vector de constantes del sistema.
Combinación lineal entre vectores
El curso de ´algebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; el problemafundamental del algebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y por consiguiente, prácticamente la totalidad de los temas tiene como fin analizar los sistemas lineales y sus soluciones. Después del concepto de sistema de ecuaciones el segundo concepto en importancia es el de combinación lineal.
Veamos cómo se motiva este concepto.
Ejemplo 1
Supongamos el sistema de ecuacioneslineales:
1 x + (−1) y = 1
2 x + 1 y = 5
Sabemos que cada ecuación representa una línea recta en R2 y que la solución coincide con la intersección de las rectas. En la figura 1 se ilustra esta idea.
Para buscar otra visión de la situación, sustituimos la solución
x = 2 y y = 1:
1 (2) + (−1)(1) = 1
2 (2) + 1(1) = 5
En notación vectorial, lo anterior queda
1 (2) + (−1) (1)
2(2) + 1 (1) = 1/5
Aplicación
Continuemos con la empresa maquiladora del ejemplo anterior. Supongamos que la empresa construye ensambles tipo D y ensambles tipo E. Para construir un ensamble D requiere 3As, 4Bs y 2Cs. Y para construir
un ensamble E requiere 5As, 3Bs y 2Cs. Un día notan que han usado 130A, 111Bs y 64Cs para ensamblar
Ds y Es. ¿Cuantos Ds y cuantos E han hecho?
En estecaso buscamos los valores de x, el número de Ds construidos, y de y, el números de Es construidos.
As debe cumplirse que:
Si desarrollamos e igualamos componente a componente tenemos que nuestro problema consiste en resolver el
Sistema
Al formar la matriz aumentada y reducirla se obtiene
De donde la solución es x = 15 (15 del tipo D) y y = 17 (17 del tipo E). Nuevamenteobservamos que la solución x = 15 y y = 17 de
Representa los coeficientes por los cuales multiplicar las columnas de la matriz de coeficientes para que al sumar estos productos se obtenga el vector de términos constantes:
Combinación Lineal
Demos ahora la definición de combinación lineal:
Definición
Sean, vectores n y sean escalares. El vector de la forma:
Se llamacombinación lineal de . Los escalares se llaman coeficientes de la combinación lineal
5.5. SEL vs Combinaciones Lineales
El siguiente es el segundo resultado clave del curso:
Resultado clave
Si son las incógnitas de un sistema cuya matriz de coeficientes es A y cuyo vector de constantes es b, siendo también las columnas de A entonces:
Es decir, el sistema tiene solución si y solo si b esuna combinación lineal de las columnas de la matriz A. La solución del sistema es el vector formado por coeficientes de la combinación lineal de las columnas de A que dan b.
Ejemplo .
Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v1, v2, v3. Donde:
Solución.
La pregunta consiste en saber si existen escalares c1, c2 y c3 (tres escalares por ser tres vectores) tales que:Sustituyendo los vectores, la relación anterior queda:
La matriz aumentada del sistema anterior queda con eliminación Gaussiana:
Como el sistema anterior es inconsistente, no existen c1, c2, y c3 que hagan que se cumpla :
c1 v1 + c2 v1 + c3 v1 = y
Por lo tanto, el vector y no es combinación lineal de los vectores v1, v2, v3.
Ejemplo 5.5
Indique si el vector y es combinación...
Introducción
En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores.
Se establece la relación entre el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores.
El resultado clave indica que es equivalente buscarla solución a un sistema de ecuaciones lineales que determinar los valores de los coeficientes que multiplicando cada una de las columnas de la matriz de coeficientes y sumando los vectores resultantes da como resultado el vector de constantes del sistema.
Combinación lineal entre vectores
El curso de ´algebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; el problemafundamental del algebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y por consiguiente, prácticamente la totalidad de los temas tiene como fin analizar los sistemas lineales y sus soluciones. Después del concepto de sistema de ecuaciones el segundo concepto en importancia es el de combinación lineal.
Veamos cómo se motiva este concepto.
Ejemplo 1
Supongamos el sistema de ecuacioneslineales:
1 x + (−1) y = 1
2 x + 1 y = 5
Sabemos que cada ecuación representa una línea recta en R2 y que la solución coincide con la intersección de las rectas. En la figura 1 se ilustra esta idea.
Para buscar otra visión de la situación, sustituimos la solución
x = 2 y y = 1:
1 (2) + (−1)(1) = 1
2 (2) + 1(1) = 5
En notación vectorial, lo anterior queda
1 (2) + (−1) (1)
2(2) + 1 (1) = 1/5
Aplicación
Continuemos con la empresa maquiladora del ejemplo anterior. Supongamos que la empresa construye ensambles tipo D y ensambles tipo E. Para construir un ensamble D requiere 3As, 4Bs y 2Cs. Y para construir
un ensamble E requiere 5As, 3Bs y 2Cs. Un día notan que han usado 130A, 111Bs y 64Cs para ensamblar
Ds y Es. ¿Cuantos Ds y cuantos E han hecho?
En estecaso buscamos los valores de x, el número de Ds construidos, y de y, el números de Es construidos.
As debe cumplirse que:
Si desarrollamos e igualamos componente a componente tenemos que nuestro problema consiste en resolver el
Sistema
Al formar la matriz aumentada y reducirla se obtiene
De donde la solución es x = 15 (15 del tipo D) y y = 17 (17 del tipo E). Nuevamenteobservamos que la solución x = 15 y y = 17 de
Representa los coeficientes por los cuales multiplicar las columnas de la matriz de coeficientes para que al sumar estos productos se obtenga el vector de términos constantes:
Combinación Lineal
Demos ahora la definición de combinación lineal:
Definición
Sean, vectores n y sean escalares. El vector de la forma:
Se llamacombinación lineal de . Los escalares se llaman coeficientes de la combinación lineal
5.5. SEL vs Combinaciones Lineales
El siguiente es el segundo resultado clave del curso:
Resultado clave
Si son las incógnitas de un sistema cuya matriz de coeficientes es A y cuyo vector de constantes es b, siendo también las columnas de A entonces:
Es decir, el sistema tiene solución si y solo si b esuna combinación lineal de las columnas de la matriz A. La solución del sistema es el vector formado por coeficientes de la combinación lineal de las columnas de A que dan b.
Ejemplo .
Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v1, v2, v3. Donde:
Solución.
La pregunta consiste en saber si existen escalares c1, c2 y c3 (tres escalares por ser tres vectores) tales que:Sustituyendo los vectores, la relación anterior queda:
La matriz aumentada del sistema anterior queda con eliminación Gaussiana:
Como el sistema anterior es inconsistente, no existen c1, c2, y c3 que hagan que se cumpla :
c1 v1 + c2 v1 + c3 v1 = y
Por lo tanto, el vector y no es combinación lineal de los vectores v1, v2, v3.
Ejemplo 5.5
Indique si el vector y es combinación...
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