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3.4 Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas
Teorema exige que se conozcan los límites de integración, Y no siempre esa condición se cumple, o sea que se nos presentan situacionesen Donde no están dados esos límites. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6. Calcula el área de la región comprendida entre la curva y = -x2 + 4 y el eje de las abscisas.
Resolución: En este caso nose indican los límites para el cálculo del área.
La forma correcta de proceder en estos casos es calcular por separado las integrales de los diversos sectores y posteriormente sumar sus valoresabsolutos. Es decir la solución es calcular el área “a trozos” tomando la integral de la función si el área es positiva y el valor absoluto de la integral de la función si el área es negativa. Luego sesuman las áreas obtenidas para obtener el área total.
Ejemplo 8: Calcula el área de la región comprendida entre el gráfico de la función f (x) = x3 - x2 - 2x y el eje “X”.
Resolución: Para calcular elárea debemos analizar donde la gráfica corta al eje “X”.
Como en este caso no tenemos la gráfica debemos calcular donde la función cambia de signo, o sea, los ceros de la misma:
x3 - x2 - 2x = 0, osea x (x - 2)(x+1) = 0 de donde se tiene que x1 = -1 ; x2 = 0 ; x3 = 2 que son también los limites de integración.
Áreascomprendidas entre dos o más curvas.
Sean y = f (x), y = g (x) dos funciones, sus gráficas comprenden una región sobre el intervalo limitado por las abscisas de los puntos de intersección de ambascurvas.
En general si f y g son dos funciones continuas, el área entre dos curvas se calcula: A = ∫ | f (x) - g(x)| dx ; donde x1 y x2 son las abscisas de los puntos de intersección. Si tenemos más de dospuntos de intersección el área se calcula por partes.
Ejemplo 9: Calcula el área limitada por los gráficos de:
(a) f (x) = x y g(x)=x2 (b) f (x) = x y g(x) = x3.
Para calcular el área debemos...