interacciones polare

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM.
a

1

´
5. CURVAS PARAMETRICAS Y POLARES
5.2. CURVAS EN COORDENADAS POLARES
5.2.1. Coordenadas polares
Cada punto P delplano distinto del origen queda un´
ıvocamente determinado por el segmento OP que
lo une al origen, llamado radio vector, que a su vez queda un´
ıvocamente determinado por su longitud
ρ > 0 y porel ´ngulo θ ∈ [0, 2π) que forma con la parte positiva del eje de abscisas. El par (ρ, θ) se
a
llaman coordenadas polares del punto P .

y




ρ

P

(x, y) −→ (ρ, θ)

x = ρ cos θ
y =ρ sin θ

(ρ, θ) −→ (x, y)

ρ = x2 + y 2
y
tan θ = x







O


θ

x

5.2.2. Ecuaci´n polar de una curva
o
En general, en coordenadas cartesianas los puntos (x, y) de unacurva se caracterizan por cumplir cierta
relaci´n que, en forma expl´
o
ıcita, se expresa por y = f (x). Cuando los puntos se expresan en coordenadas
polares, la relaci´n que se establece se llamaecuaci´n polar de la curva y se suele expresar como
o
o
ρ = f (θ), con θ ∈ D.
En principio, deber´ ser θ ∈ [0, 2π) y ρ ≥ 0. Sin embargo, es posible considerar valores de θ fuera de ese
ıaintervalo (considerando sucesivas circunferencias) e incluso valores negativos de ρ. En este ultimo caso,
´
si ρ < 0 en la direcci´n θ, el punto se dibuja a distancia −ρ > 0 sobre la semirrectacorrespondiente a la
o
direcci´n θ + π.
o

5.2.3. Propiedades de tangencia
A partir de la ecuaci´n polar de una curva se pueden obtener unas ecuaciones param´tricas:
o
e
ρ = f (θ) −→

x = ρ cos θ = f(θ) cos θ
y = ρ sin θ = f (θ) sin θ

−→ α(θ) = (f (θ) cos θ, f (θ) sin θ)

Entonces, usando t´cnicas de curvas param´tricas:
e
e
• Vector tangente: α (θ) = (f (θ) cos θ − f (θ) sin θ, f (θ) sinθ + f (θ) cos θ)
• Recta tangente en un punto (θ0 , ρ0 ) con ρ0 = f (θ0 ):
y − f (θ0 ) sin θ0
x − f (θ0 ) cos θ0
=
f (θ0 ) cos θ0 − f (θ0 ) sin θ0
f (θ0 ) sin θ0 + f (θ0 ) cos θ0
• Puntos...